Źródło: Myśl Współczesna. Czasopismo naukowe, Nr. 2, Lipiec 1946, Łódź.
Istnienie związku pomiędzy geometrią nieeuklidesową a filozofią jest powszechnie znane. Nie licząc niepoprawnych i upartych wyznawców Kanta wszyscy przyznają, że zbudowanie tego systemu geometrycznego nie zawierającego w sobie sprzeczności tak jak i geometria Euklidesa a opublikowanego po raz pierwszy 12 kwietnia 1826 r. na uniwersytecie Kazańskim przez Mikołaja Łobaczewskiego, zaprzeczyło samym swym istnieniem najważniejszemu dogmatowi subiektywnego idealizmu Kanta.
W istocie, tkwi w tym ogromne znaczenie geometrii Łobaczewskiego dla filozofii. Bo skoro dowiedziono, że mogą istnieć dwa konkurujące z sobą systemy geometryczne, obydwa jednakowo niesprzeczne logicznie, to tym samym upada rozpowszechniony przesąd idealistyczny, jakoby jeden jedyny system, geometryczny był prawdziwy, właśnie dlatego, że nie powstał w wyniku doświadczenia, poznania rzeczywistego świata materialnego, lecz dany był naszej świadomości przed doświadczeniem, jako pierwotna i beztreściowa forma poznania.
Związek pomiędzy geometrią Łobaczewskiego — pierwszego historycznie systemu nieeuklidesowego — i filozofią jest jednak znacznie głębszy niż się przypuszcza. Samo odkrycie tej geometrii, epokowe w historii nauki nie byłoby możliwe, gdyby Łobaczewski nie stał twardo na gruncie tego filozoficznego poglądu, który geometrycznym aksjomatom — jak i całemu poznaniu — przyznaje (nie negując ważnej roli abstrakcji) charakter doświadczalny. Ten pogląd wywodzi formy przestrzenne i prawo nimi rządzące nie z przyrodzonych własności poznania, lecz z ruchu ciał materialnych, istniejących niezależnie od świadomości. Tę istotną tezę, powstał z empiryzmu materialistycznego, wyraził Łobaczewski w następujących słowach:
„Matematycy znaleźli proste środki dla zdobycia wiedzy. Od niedawna posługujemy się tymi środkami. Wskazał nam je znakomity Bacon. 'Przestańcie — mówił on — nadaremnie się wysilać, usiłując wydobyć z rozumu całą mądrość, pytajcie przyrodę; ona zawiera wszystkie prawdy i na wasze pytanie będzie wam odpowiadać niezawodnie i zadowalająco’. Geniusz Kartezjusza wprowadził tę szczęśliwą zmianę i dzięki jego talentowi żyjemy już w takich czasach, kiedy po uniwersytetach błądzi tylko cień dawnej scholastyki.”
W szczególności, w związku z zagadnieniem poznania własności przestrzeni, Łobaczewski tak sformułował swój podstawowy pogląd.
„W samych pojęciach (geometrii) nie jest jeszcze zawarta prawda, którą one miały wykazać i którą można sprawdzić — podobnie jak i inne prawa fizyczne — jedynie na podstawie doświadczenia, jakim są na przykład obserwacje astronomiczne.“
Ta myśl przeczy poglądowi, według którego nasza wiedza o przestrzeni jest absolutna, wobec czego nie jest rzeczą konieczną sprawdzać ją doświadczalnie. W ówczesnych warunkach nie mógł Łobaczewski otwarcie rozwijać swych poglądów filozoficznych i wyrażać sympatii dla niebezpiecznych idei postępowych, pozostawała mu jedynie możliwość wypowiadania ich w zwięzły sposób w ukrytej albo w półukrytej formie, i Łobaczewski robił to niejednokrotnie.
W swych poglądach na społeczeństwo, na cel wykształcenia Łobaczewski był zwolennikiem „Zasad Etyki“ francuskiego utopisty XVII wieku G. Mably, ale w odróżnieniu od niego nie był pesymistą, lecz przeciwnie — silnie wierzył w zwycięską siłę społeczeństwa ludzkiego, w nieodzowne zwycięstwo humanizmu. Od Mably, Condillaca, Locka zaczerpnął Łobaczewski ogólną koncepcję sensualistów – materialistów, ich empiryzm materialistyczny. Tak jak oni uważał, że źródłem poznania są wrażenia zmysłowe, które powstają przez oddziaływanie świata zewnętrznego na nasze zmysły; ze jedynie z doświadczenia zmysłowego którego podstawą są przedmioty przyrody materialnej, czerpiemy naszą wiedzę. Wraz z nimi zaprzeczał, jakoby człowiek posiadał wrodzone idee, wrodzone pojęcia. To stanowisko zajął Łobaczewski wobec filozofii Kanta.
Kantyzm był wówczas w Rosji mało znany. Zasady filozofii kantowskiej, szczególnie jego nauka o przestrzeni i czasie, jako o właściwościach ludzkiej zdolności poznania, poprzedzających doświadczenie i będących warunkami jego poznania były po raz pierwszy wyłożone po raz pierwszy w języku rosyjskim wraz z uwagami krytycznymi w „Północnym informatorze” w 1805 r. przez A. S. Łubkina, zajmującego na Uniwersytecie Kazańskim od 1812 r. do 1815 r. katedrę spekulatywnej i praktycznej filozofii. Wykładów jego słuchał Łobaczewski. Dookoła kantyzmu toczyły się głębokie spory. Kierunek ten miał wtedy wielu entuzjastów. Stawał się on stopniowo modny wśród szerokich kół liberalnej inteligencji. Ale jednocześnie obok zwolenników było i niemało przeciwników. Jedno zaciekle atakowali Kanta za to, że sądził jakoby naszym wyobrażeniom odpowiadało coś poza nami, jakaś „rzecz sama w sobie”, inni zaś – ponieważ uważał, że jest ona zasadniczo niepoznawalna, ponieważ nie uznał on przestrzeni czasu, przyczynowości za własność samej przyrody, lecz za przed-doświadczalne, aprioryczne formy poznania.
Będąc zwolennikiem sensualizmu materialistycznego, empirykiem, materialistą, Łobaczewski był zdecydowanym przeciwnikiem kantyzmu.
W szczególności naukę Kanta o przestrzeni, kantowski aprioryzm uważał Łobaczewski za nie do przyjęcia, za głęboko fałszywy. Filozoficzny punkt widzenia, przyjęty przez Łobaczewskiego i nieugięcie przezeń broniony, odegrał decydującą rolę w tym wielkim czynie naukowym, który uczynił imię Łobaczewskiego nieśmiertelnym i doprowadził go do stworzenia geometrii nieeuklidesowej.
Na to, żeby rozwiązać zagadnienie, nad którym biedzili się w ciągu dwóch tysiącleci najznakomitsi teoretycy geometrii, trzeba było nie tylko genialnych zdolności. Poczynając od 300 r. przed N. Chr., kiedy Euklides stworzył epokowy gmach swych „Zasad“, najwnikliwsze umysły szukały dowodu V postulatu o prostych równoległych.
Do czasów Łobaczewskiego takich prób zebrało się około stu, jednak wszystkie były błędne; nie udało się wypełnić luki w uzasadnieniu geometrii, albo — jak wówczas wyrażano się — „oczyścić Euklidesa z wszystkich plam“ . Wytworzyła się sytuacja tak krytyczna, że nawet więcej niż ostrożny Gauss uważał za stosowne wypowiedzieć się w tej sprawie. Pisał on w 1816 r.:
„Mało jest zaprawdę zagadnień matematycznych, które by — jak zagadnienie prostych równoległych — tak długo stanowiły lukę w podstawach geometrii. Nie ma prawie roku, w którym nie ukazałaby się nowa próba wypełnienia tej luki, pomimo to musimy przyznać szczerze i otwarcie, że w istocie w ciągu tych 2 tysięcy lat niewiele posunęliśmy się naprzód od czasów Euklidesa. Takie szczere wyznanie wydaje się nam bardziej godne powagi nauki niż bezcelowe przemilczanie tego faktu.“
To przyznanie się matematyków do bezsilności jest tym charakterystyczniejsze, że samego Gaussa, jak wiadomo z jego rękopisu, zagadnienie to zajmowało jeszcze w 1792 r. i że w poszukiwaniu rozwiązania on sam osiągnął ważne wyniki, które jednak starannie ukrywał.
Aby wydostać się z zaułka, w który zabrnęła myśl geometryczna, nie można było iść w dalszym ciągu po tej samej drodze, po której szły wszystkie poprzednie dociekania geometrów. Trzeba było zburzyć dotychczasowe pojęcia, trzeba było zmienić całkowicie sam punkt wyjścia badań. To właśnie zrozumiał Łobaczewski.
Przed nim badacze mieli jedynie wątpliwości, w jakim stopniu V postulat jest niezależny od pozostałych aksjomatów i postulatów. Nikt jednak nie wypowiedział, a przynajmniej nie miał odwagi wypowiedzieć publicznie, wątpliwości co do prawdziwości samego twierdzenia, zawartego w tym postulacie. Przeciwnie, po każdej nieudanej próbie udowodnienia postulatu o równoległych, wzmacniało się przekonanie, iż właśnie dlatego jest on niemożliwy do udowodnienia, ponieważ jest równie oczywisty, jak i inne, nie dające się udowodnić aksjomaty.
Czego więc było potrzeba, ażeby poddać w wątpliwość prawdziwość tego stanowiska, uznanego przez wszystkich na przestrzeni wieków, za którym przemawiały i naoczne świadectwo zmysłów i dotychczasowe przekonania, zmienione w trwały przesąd, oraz autorytet najwybitniejszych geometrów wielu pokoleń od Euklidesa do Legendra? Na to potrzebna była nie tylko odwaga i niezależność poglądów, głęboka krytyka i wolna myśl, ale przede wszystkim silna podstawa gnoseologicznych założeń, które pozwoliły Łobaczewskiemu dokonać przewrotu w sposobie stawiania zagadnienia.
Wybitni geometrzy angielscy Clifford i Silvester słusznie i trafnie nazwali Łobaczewskiego „Kopernikiem geometrii“ . Ażeby rozwinąć zagadnienie układu planetarnego, trzeba było wyrzec się poglądu o centralnym i nieruchomym położeniu ziemi. Podobnie postąpił Łobaczewski dla rozwiązania zagadnienia o równoległych. Wyrzekając się błędnego mniemania, według którego rozum ludzki określa podstawowe aksjomaty geometryczne i zajmując stanowisko, że aksjomaty te nie są nam wrodzone, lecz wynikły na podstawie doświadczenia stuleci, mógł Łobaczewski zdecydować się na zastąpienie postulatu o równoległych innym, z nim niezgodnym.
Połączywszy ten postulat z pozostałymi aksjomatami i postulatami Euklidesa, rozwinął Łobaczewski z żelazną logiką, prawie na 700 stronicach, swoją nową geometrię, „geometrię wyobrażalną“, jak ją nazwał w odróżnieniu od „użytkowej“ geometrii euklidesowej. Dla Łobaczewskiego podstawą była przede wszystkim myśl filozoficzna, ona kierowała jego badaniami. Bez tej filozoficznej, a mianowicie materialistycznej myśli, Łobaczewski, stojąc jak większość współczesnych mu geometrów na stanowisku kaniowskiego aprioryzmu, nie mógłby dokonać swego wielkiego czynu — przewrotu w geometrii, a tym bardziej nie mógłby tak odważnie go bronić.
Historycy matematyki przedstawiają sprawę tak, jakoby Łobaczewski podjął swą pracę z tą myślą, że wyprowadzając wciąż nowe twierdzenia ze swego założenia doprowadzi w końcu do absurdu, do sprzeczności i tym samym wykaże, że postulat, przyjęty przez niego zamiast V postulatu euklidesowego, jest niezgodny z pozostałymi aksjomatami i postulatami. Gdyby taka interpretacja celu, jaki postawił sobie Łobaczewski, była prawdziwa, to cała jego praca byłaby jedynie formalnym dowodem a contrario — co prawda we wspaniałych rozmiarach. Ale sam Łobaczewski, który jeszcze w 1823 r. stał na tym stanowisku, już w ciągu następnych trzech lat przeszedł głęboką ewolucję. Zaczął dopuszczać możliwość istnienia geometrii, zajmującej stanowisko sprzeczne z V postulatem.
„Czy wystarcza geometria Euklidesa dla wszystkich pomiarów, używanych przy obserwacjach astronomicznych?“
— zapytywał wyjaśniając, że odpowiedź na to pytanie może dać nie rozumowanie, ale doświadczenie i obserwacja. Z kolei Łobaczewski widział w swojej geometrii nie tylko bardzo dowcipny dowód niezależności V postulatu, ale równocześnie nowy system, równie możliwy jak euklidesowy, przy czym obserwacje i doświadczenia powinny były rozstrzygnąć, który z tych dwóch potężnych systemów jest bliższy rzeczywistości, który — jak wyraził się Łobaczewski — „odpowiada istocie przyrody“ . Łobaczewski obliczył, że jeżeli jego geometria ma miejsce w przyrodzie, to nawet w tak olbrzymim trójkącie, że jego boki byłyby rzędu odległości ziemi od słońca, suma kątów wewnętrznych nie powinna się różnić od 180° więcej niż o 0,0000037 sekundy kątowej, a zatem stanowiłaby wielkość niedostępną dla pomiarów.
Właśnie to, że Łobaczewski dopuszczał myśl, że jego geometria może odpowiadać przyrodzie, wywołało wiele szyderstw ze strony jego przeciwników. W swoim znakomitym wstępie do „Nowych zasad geometrii“ Łobaczewski pisał:
„Nie ma w tym żadnej sprzeczności, gdy zakładamy, że niektóre siły przyrody działają według praw jednej, inne zaś wedle zasad innej szczególnej geometrii. Żeby wyjaśnić tę myśl, załóżmy, jak to jest na ogół przyjęte, że siły przyciągania słabną wskutek rozprzestrzeniania się ich działania na kuli. W zwykłej geometrii wielkość powierzchni kuli wynosi 4 π R² gdzie R jest promieniem, wobec czego siła powinna się zmniejszać proporcjonalnie do kwadratu promienia. Ja zaś wyliczyłem, że powierzchnia kuli może wyrażać się liczbą:
Przyjmując tę specjalną geometrię, mamy prawo spodziewać się, że różnice sil cząsteczkowych są zależne od liczby e1. Oczywiście jest to tylko hipoteza, dla potwierdzenia której trzeba poszukać innych przekonywujących dowodów.“
Jakżeż mogli współcześni Łobaczewskiemu geometrzy zrozumieć całą głębię jego koncepcji? Nawet w wąskim sensie geometrycznym idee Łobaczewskiego zaczęły zdobywać uznanie dopiero od 1868 r., kiedy Beltrami, któremu geometria Łobaczewskiego była znana, odkrył, że zachowując geometrię euklidesową w przestrzeni trójwymiarowej, można zbudować w tej przestrzeni powierzchnie — pseudo-kule, w odniesieniu do których ta geometria pokrywa się z planimetrią Łobaczewskiego. Obecnie nawet najbardziej sceptyczni matematycy przekonali się namacalnie, że geometria Łobaczewskiego nie jest niedorzecznością. Jednocześnie geometria na otrzymała nową owocną metodę badania, metodę interpretacji jednych form za pomocą drugich. Szybko zaczął się rozwijać proces tworzenia nowej geometrii, która ogromnie wzbogaciła pojęcie przestrzeni, odkrywszy możliwość budowania geometrii wielowymiarowych i wielu innych, posiadających najrozmaitsze nowe właściwości. Swego rodzaju uwieńczenia tego procesu dokonał Riemann (1854 r.), który — całkowicie w duchu Łobaczewskiego — uważał, że sprawdzenie tego, w jakim stopniu ta czy inna geometria odpowiada własnościom rzeczywistej przestrzeni, jest zadaniem doświadczenia, eksperymentu.
W tym samym roku co i Riemann, Helmholtz dochodzi do wniosku, że punktem wyjścia przy budowaniu systemu geometrycznego powinno być nie określenie elementu długości, otrzymane przez Riemanna rozumowo, na drodze analitycznej, lecz zbadanie warunków, w których może odbywać się ruch ciał sztywnych. To stanowisko Helmholtza przyjął w osiemdziesiątych latach Sofus Luc za podstawę do badań zasad geometrii z punktu widzenia grup przekształceń ciągłych ruchu ciał idealnie sztywnych.
W ten sposób idee, wypowiedziane przez Łobaczewskiego z tak zadziwiającą odwagą, bezpośrednio i świadomie oparte przede wszystkim na jego postępowych poglądach gnoseologicznych, wyprzedziły znacznie współczesną mu naukę. Rozpoczęta przez Łobaczewskiego ewolucja, która ogromnie wzbogaciła nasze wyobrażenia geometryczne nie była tylko rozwinięciem konstrukcji logicznych. Rozwój fizyki XX wieku potwierdził wszystko to, co genialnie przewidział Łobaczewski. Jak wiadomo, czterowymiarowa geometria czasu — przestrzeni w teorii względności zależy od gęstości rozłożenia materii w tym lub innym obszarze; inaczej mówiąc zmienia się ona z miejscem, a w miejscu danym — z biegiem czasu. Mimo wielkich osiągnięć teorii względności — najważniejsze jej wnioski zostały całkowicie sprawdzone — nie udało się jej jednak ustalić, jaka właśnie przestrzeń geometryczna jest najwierniejszym odbiciem przestrzeni rzeczywistego świata materialnego. Pospieszne zaś, nieuzasadnione wnioski z teorii względności wysnuwane przez niektórych fizyków, jakoby wszechświat był skończony, zamknięty, pozwalają uzasadnić „naukowo“ początek i koniec świata w czasie oraz inne temu podobne wsteczne poglądy.
Ale i druga przodująca teoria współczesnej fizyki — teoria kwantów, badająca wewnętrzny świat atomu, doprowadziła do wniosku, że geometria zależy od fizycznych własności materii. Przy przejściu od wymiarów makroskopowych do niesłychanie małych wymiarów cząsteczek wewnętrznego świata atomowego, nie nadają się już przyjęte przez nas wyobrażenia przestrzenne. Jeśli na przykład rozpatrujemy elektron, jako punkt pozbawiony rozmiarów, albo jeśli dopuszczamy istnienie fal elektromagnetycznych o dowolnie małej długości, to opierając się na geometrii euklidesowej dochodzimy do ciągłych sprzeczności. Zwykła geometria powinna być tutaj zastąpiona przez inną, mającą charakter statystyczny, odpowiadającą z dużym przybliżeniem rzeczywistości.
A zatem widzimy, że z różnymi strukturalnymi formami materii jest związana im właściwa obiektywna geometria. Ale te formy nie istnieją po prostu jedna obok drugiej, lecz przechodzą jedna w druga i poczynając od znikomo małych cząsteczek jak elektrony, kończąc na tak olbrzymich masach jak układy gwiezdne, występują jako ogniwa wiecznego ruchu materii. Dlatego w procesie ewolucji i geometrie przechodzą jedne w drugie. Nasza geometria, mniej lub więcej odzwierciedlająca obiektywną geometrię przestrzeni materialnej, wyraźnie się zmienia w zależności od naszego poznania przyrody, określonego osiągniętym stopniem rozwoju techniki, ekonomii, całego rozwoju ludzkiego społeczeństwa.
Łobaczewski twierdził, że odchylenia od geometrii tradycyjnej należy szukać „poza granicami świata widzialnego“, tzn. w skalach kosmicznych lub w sferze przyciągań międzycząsteczkowych — w mikroświecie, że rozstrzygnięcie zagadnienia, który system geometryczny „odpowiada przyrodzie“ jest zadaniem nie tylko geometrii, ale i fizyki. Więcej niż sto lat temu osamotniony uczony kazański, Łobaczewski, wypowiedział te zadziwiające myśli.
Niezwykłość założeń geometrii Łobaczewskiego — przeszkoda, którą od razu napotykały wszystkie poprzednie próby zbudowania geometrii, różnej od euklidesowej, powodowała, że próby te nie były doprowadzone do końca, Gauss, który najdalej posunął się w tym kierunku, jak wiadomo, obawiał się opublikować swoje wyniki. W liście do Bessela przyznaje się:
„Jest możliwe, że przez całe życie nie zdecyduję się na to, bo boję się krzyku Beotów, który podniesie się, jeżeli całkowicie wypowiem mój pogląd.”
Gauss, princeps mathematicorum, według własnego oświadczenia, tak bardzo zląkł się „os, które podniosą się nad jego głową“, że nawet odmówił oceny pracy poświęconej zagadnieniu równoległych, którą w zasadzie akceptował. O pracy Łobaczewskiego, dla której przestudiowania Gauss poznał język rosyjski, wyraził się pochlebnie, ale tylko w prywatnym liście i to po ukazaniu się skróconego wykładu w zagranicznym piśmie matematycznym. I nawet wtedy, gdy w niemieckim informatorze literackim w 1840 r. została opublikowana bardzo ujemna recenzja pracy Łobaczewskiego, Gauss, wyrażający się w listach do przyjaciół niezwykle pochlebnie o tej pracy, znów tylko w prywatnym liście wypowiedział się o recenzji lekceważąco, publicznie natomiast nie poświęcił ani jednego słowa obronie nowej doktryny, której w skrytości był bliski.
W tym świetle należy ocenić odwagę Łobaczewskiego, rzucającego z zaściankowego wówczas Kazania, znajdującego się na granicy rosyjskiego Wschodu, wyzwanie skostniałej tradycji naukowej. Nie wolno przemilczeć faktu, że Niemcy starali się po niewczasie upiększyć postępowanie Gaussa. „Uroczyste pismo“ Uniwersytetu w Getyndze z okazji odsłonięcia pomnika Łobaczewskiego w r. 1896 w Kazaniu, stwierdza, „że oni, Niemcy, mieli w osobie Gaussa badacza, kroczącego po drodze wytkniętej przez Łobaczewskiego, chociaż Gauss, przy swoich wielostronnych zainteresowaniach naukowych nie zdobył się na opublikowanie myśli, towarzyszących mu w ciągu całego jego życia“. Jedynie człowiek, który wzniósł się nad otaczające go środowisko, człowiek oddany nauce i oświacie narodu, stawiający interesy nauki i postępu ludzkiego ponad osobisty spokój i pomyślność, człowiek o głębokich zasadach i postępowym poglądzie na świat — mógł zdecydować się na podjęcie samotnej walki z oficjalną nauką.
Tylko ukochanie nauki, poświęcenie się prawdzie i wiara w jej zwycięstwo dodawała Łobaczewskiemu siły, która wbrew ignoranckim drwinom i tępej obojętności współczesnych, pozwoliła mu bronić i rozwijać rewolucjonizujące naukę idee.
Zupełnie inny był stosunek Gaussa do tych zagadnień. Gauss zajmował się problemem równoległych już w 1792 r., mając zaledwie 15 lat i wracał doń ciągle, nie przestając interesować się nim aż do ostatnich dni swojego życia. Jednak oprócz kilku anonimowych recenzji o dyletanckich i nieudanych próbach udowodnienia V postulatu niczego o tym zagadnieniu nie opublikował. W żaden sposób nie mógł się zdecydować na określony punkt widzenia, stale się wahał. Jeszcze w 1817 r. w liście do Olbersa wypowiedział się w duchu agnostycyzmu, tłumacząc trudność problemu fatalną bezsilnością rozumu ludzkiego, Gauss pisał:
„Coraz bardziej dochodzę do przekonania, że konieczność geometrii naszej nie może być wykazana przez rozum ludzki i dla rozumu ludzkiego. Być może, w drugim życiu dojdziemy do innych, obecnie dla nas niedostępnych pojęć o istocie przestrzeni.“
Wielu uczonych posyłało swe prace Gaussowi, a w tej liczbie badania nad V postulatem: wśród tych ostatnich były nieudane opracowania, ale była również świetna nota Schwejkarta, która nie mogła nie wywrzeć na Gaussie wielkiego wrażenia. E. I. Szwejkart w latach 1812— 1817 był profesorem prawa w Charkowie; właśnie wtedy rektor uniwersytetu, matematyk i astronom, T. F. Ossipowski — organizował tam towarzystwo naukowe o dwóch oddziałach: filozoficznym i przyrodniczym. Ossipowski, usunięty w 1820 r. z uniwersytetu za wolnomyślność, występował przeciwko idealizmowi Schellinga i Kanta. W odczycie o przestrzeni i czasie Ossipowski mówił:
„Przestrzeń i czas są warunkami istnienia rzeczy w samej przyrodzie i w nich samych a nie tylko w naszym wyobrażeniu: pojęcie przestrzeni powstaje przez wrażenie, wywołane przez nią przy pomocy naszych zmysłów na nasze odczucia wewnętrzne.“
Również w odezwie „O dynamicznym systemie Kanta“ bronił Ossipowski konsekwentnie obiektywności przestrzeni i czasu. W środowisku stworzonym przez Ossipowskiego było wiele sporów na temat kantyzmu, aprioryzmu kantowskiego. Schwejkart wcześniej jeszcze, podczas pobytu w Niemczech, zajmował się w wolnych chwilach geometrią i ogłosił w 1807 r. pracę, zawierającą nieudaną próbę dowodu V postulatu. W Charkowie doszedł jednak do przekonania, że jednocześnie z „geometrią w wąskim znaczeniu“ istnieje, geometria „astralna“ , w której suma kątów trójkąta jest mniejsza od 2 kątów prostych, przy czym różnica jest tym mniejsza, im większa jest płaszczyzna trójkąta. Trudno przypuszczać, że ten przewrót w myślach Schwejkarta nastąpił bez współdziałania myśli filozoficznej, pochodzącej od Ossipowskiego i przodującej za czasów jego rektoratu na uniwersytecie charkowskim i w czasie jego prezesury — w Charkowskim Towarzystwie Nauk.
Jasny wykład samej istoty zagadnienia, zawarty zaledwie w 6 wierszach, został przesłany przez Schwejkarta Gaussowi w 1818 r. przez kolegę Schwejkarta — królewskiego astronoma Herlinga. Zaopatrzony był on w następującą uwagę tego ostatniego:
„Zapewne stepy rosyjskie stanowią szczególnie sprzyjający grunt dla tych spekulacji naukowych.“
Ale jeżeli rzeczywiście geometria nieeuklidesowa zrodziła się w Charkowie (w postaci niekompletnego szkicu) i w Kazaniu (jako całkowicie opracowany system), przy czym niezależnie od siebie i prawie jednocześnie, to oczywiście przyczyną tego nie były „stepy rosyjskie“ . Gruntem sprzyjającym rozwojowi tych wyjątkowych swą nowością i reformatorską siłą — idei, był postępowy światopogląd materialistyczny. W Rosji bronili go najlepsi przodujący ludzie spośród inteligencji, nie bacząc na zalewające ich fale ciemnej reakcji. Bronili go i wówczas, gdy we Francji, skąd niegdyś się wywodził, już dawno został zgnębiony przez żałosnych popleczników Restauracji, gdy w Niemczech filozofowie — idealiści usiłowali wszelkimi sposobami zatrzeć swoje grzechy młodości — entuzjazm dla Francuskiej Rewolucji. Tylko dzięki materialistycznemu sensualizmowi i empiryzmowi, które znalazły przytułek u postępowych elementów w Rosji, został dokonany w Charkowie i w Kazaniu wyłom w kantowskim i idealistycznym przesądzie o wrodzonych pojęciach przestrzeni. Ale to uzasadnienie oczywiście nie mogło nawet powstać w umyśle Herlinga, było ono nieznane i Gaussowi.
Krótka, lecz wymowna w swej treści nota Schwejkarta była całkowicie wystarczająca dla każdego świadomego człowieka, a tym bardziej dla Gaussa. Gauss, jak zawsze nieco pobłażliwie, pochwalił Schwejkarta w liście do Herlinga:
„Wszystko to jest jakby przepisane z mojej duszy.“
— zauważył, wyrażając się niezupełnie właściwie. Przecież do tej chwili Gauss ciągle się wahał, podczas gdy Schwejkart zajął zdecydowane stanowisko. O notatce Schwejkarta Gauss nie wspomniał ani jednym słowem w druku.
Schwejkart zaprzestał tych badań, powierzając je swemu siostrzeńcowi Taurynusowi. Ten ostatni opracował w ciągu kilku lat nową geometrię i w rezultacie napisał broszurę, którą przesłał Gaussowi dla oceny. Ale Gauss uparcie nie odpowiadał; a Taurynus wpadł w melancholię, która przeszła w chorobę psychiczną. Z tą samą wyniosłością odniósł się Gauss do swojego byłego ucznia Wachera, który nie doczekał się oceny pracy przedstawionej Gaussowi, a zasługującej na uwagę; pod wpływem rozpaczy Wacher popełnił samobójstwo. Nie lepiej było z I. Bolyai — synem kolegi Gaussa. Bolyai wpadł w 1823 r. na ślad rozwiązania zagadnienia, a w 1832 r. opublikował wyniki swoich dziesięcioletnich badań. Otrzymawszy tę znakomitą pracę wraz z listem swego kolegi — starca, Gauss odpowiedział więcej niż powściągliwie. Mówił więcej o sobie niż o młodym autorze, a przede wszystkim nie ogłosił drukiem żadnej oceny pracy. Bolyai pod wpływem rozpaczy zwariował.
Rzuca się w oczy, że Gauss jak to widać z jego prywatnej korespondencji od czasu, kiedy otrzymał notatki Schwejkarta, przestał wypowiadać dotychczasowe wątpliwości co do zagadnienia równoległych. Oczywiście, sam fakt, że otrzymanie notatki Schwejkarta poprzedziło zmianę poglądów Gaussa, nie daje dostatecznych podstaw do przypuszczenia, że pierwsze było przyczyną drugiego. Jednak bogata literatura z zakresu historii geometrii nieeuklidesowej, uwzględniająca szczegółowo wymieniony okres nie zawiera nawet aluzji do jakichkolwiek innych czynników, którym by można było przypisać fakt, że Gauss porzucił wieloletnie wahania w tej kwestii. Nawet autorzy, którzy tak stronniczo chwalą Gaussa, jak Stöckel, uważają za prawdopodobne, że właśnie notatka Schwejkarta była tym ciężarkiem, który zatrzymał przechylającą się z jednej strony na drugą szalę wagi rozumowań Gaussa. Ale wówczas z kolei należy uznać za możliwe, że stanowisko naukowe wielkiego matematyka niemieckiego skrystalizowało się co do tego bardzo ważnego zagadnienia pod wpływem idei materialistycznych, które wyszły z Rosji. Przy tym wszystkim Gauss nie potrafił nigdy zająć całkowicie jasnego i niedwuznacznego stanowiska w sprawie zagadnienia o aprioryzmie kaniowskim. Co prawda, gdy w końcu rozstrzygnął swe długoletnie wątpliwości na korzyść równouprawnionego istnienia geometrii nieeuklidesowej, wypowiedział się w liście do Bessela (1830 r.) przeciwko aprioryzmowi; ale uczynił to połowicznie, zostawiając otwartą możliwość kompromisu, drogę, po której potem poszły różne kierunki pozytywizmu. Gauss pisał:
„Przestrzeń — to istniejąca wewnątrz nas rzeczywistość, której nie możemy całkowicie narzucić praw, a której własności, przeciwnie, mogą być ustalone jedynie na zasadzie doświadczenia.“
Tym samym dał dostateczny powód do przypuszczenia, że częściowo sami narzucamy prawa przestrzeni i że zatem „doświadczenie może być wytłumaczone w sensie subiektywnym“ . Korzystał, jak widać, raczej z argumentów agnostycyzmu, krytykując aprioryzm kaniowski więcej „z prawa“, niż od strony argumentów empiryzmu i sensualizmu.
Gauss należał do tych uczonych, którzy jeżeli nawet nie zamykają się w kontemplacji swego własnego „ja“, to jednak chowają się przed wydarzeniami społecznymi pod klosz swego obserwatorium. Ten matematyk, astronom i geodeta dał światu zadziwiające, najróżnorodniejsze odkrycia we wszystkich dziedzinach swojej nauki. Na Rewolucję Francuską zaś, na wojny napoleońskie i rewolucję w 1848 r. w Niemczech — na te wszystkie burzliwe wydarzenia, które przeżył, Gauss zareagował zaledwie gderliwymi utyskiwaniami na „ciężkie czasy“ w listach do przyjaciół i znajomych. Żył w ciągłej obawie, żeby nie być wciągniętym do walki. Stąd staranne ukrywanie jego poglądu na V postulat, stąd przedsiębrane różne środki, żeby pogląd ten nie stał się znanym poza ciasnym kołem tych, których darzył zaufaniem. Gauss rozumiał doskonale, że aksjomaty geometrii najściślej związane w danym wypadku z podstawowymi zagadnieniami filozofii, wiążą się z interesami ludzi i ich światopoglądem i jako takie stają się przedmiotem nieubłaganej walki.
1W tym wzorze Łobaczewski rozumie przez e nie zwykłą zasadę logarytmów naturalnych, a dowolną stałą.