Georg Klaus: Matematyka a rzeczywistość

Georg Klaus, „Einheit“ nr 2 i 4, 1949 za: Myśl Współczesna. Czasopismo naukowe, Nr 10 (41), Warszawa Łódź, Październik 1949 (tłum. St. Chojna).

1. Z a g a d n i e n i e

Nie ulega żadnej wątpliwości, że w próbie zbudowania matematyki niezależnej od świata materialnego, która mogłaby być uzasadniona sama w sobie i w której poszczególne dziedziny byłyby powiązane przez teorię mnogości i logistykę — musimy widzieć jeden z najsilniejszych ataków na materializm. Z uwagi na szerzące się w ostatnich stuleciach w dziedzinie nauk przyrodniczych przekonania o matematycznej istocie struktury świata materialnego, matematyka wsparta na takich podstawach oznaczałaby, że świat materialny jest jedynie jedną z wielu możliwych „interpretacji“ pewnego matematycznego układu zdań, albo — jak się to w naukowo teoretycznym stylu mówi — jedynie „modelem”. Świat materialny zostałby więc zredukowany do zasady duchowej, zaś „idealizm“ dowiedziony matematycznie. Jakkolwiek poważni reprezentanci takich zapatrywań i dążeń podkreślają ściśle naukowy, nie obciążony metafizyką charakter swych wywodów, to jednak nie można wątpić, że od surowej naukowości Hilberta aż do polityczno-reakcyjnej działalności burskiego generała Smutsa prowadzi przejście ciągłe.

W jednym ze swych przemówień Smuts wywodzi:

„Mechaniczny obraz świata, który panował od czasów Galileusza i Newtona, został od chwili wystąpienia Einsteina zastąpiony przez ujęcie matematyczne …jeśli sama materia posiada z natury swojej materialną strukturę lub organizację, to nie może ona różnić się tak bardzo od organizmu lub od życia… lub od ducha, który jest przecież aktywnym, organizującym elementem świata“¹

Nawet najzaciętsi wrogowie materializmu historycznego gotowi są przyznać tak interpretowanemu światu ciągłą prawidłowość (eine durchlaufende Gesetzmässigkeit) przyrody i historii, która by w takim wypadku posiadała czysto duchowy charakter. Należy zatem sprawdzić, jak odnoszą się poszczególne prądy matematyczno-filozoficzne do tego kręgu zagadnień i co ma tutaj do powiedzenia materializm dialektyczny.

2. L o g i c y z m

Przez logicyzm rozumiemy próbę sprowadzenia wszystkich matematycznych tworów pojęciowych, uzasadnień i zasad dowodzenia do logicznych. Narzędziem do przeprowadzenia tego zamierzenia jest logika matematyczna. Nie cieszy się ona w kołach matematycznych wielkim poważaniem, bywa bowiem często nadużywana dla ryzykownych filozoficznych awantur idealizmu. Taka jednak ocena byłaby bardziej niż nieusprawiedliwiona. Przez wyraźne wyodrębnienie pewników i reguł operacyjnych, przez wprowadzenie rachunku relacyj i klas — logika matematyczna osiągnęła niewątpliwie ścisłość i przejrzystość matematyki, czego było brak wszelkiej dawnej logice. Zarzut trwającej przez dwa tysiąclecia stagnacji, który mógł postawić logice arystotelesowej Kant², nie stosuje się więcej do logiki matematycznej. Dzięki temu, że logika matematyczna jest w istocie logiką zmiennych może ona odzwierciedlić zależność realnego świata w sposób znacznie pełniejszy niż logika Arystotelesa, który traktuje rzeczy i ich właściwości, jako sztywne i niezmienne. Dla określenia ich wzajemnego stosunku nadaje się to, co powiedział Engels o wielkościach stałych i zmiennych w matematyce:

„Stosunek matematyki wielkości zmiennych do matematyki wielkości stałych jest taki sam, jak w ogóle stosunek myślenia dialektycznego do myślenia metafizycznego“³

Aczkolwiek nie zamierzamy tutaj w żadnej mierze umniejszać roli i znaczenia logiki matematycznej, to jednak z drugiej strony konieczne jest zajęcie stanowiska wobec jej nieuzasadnionych totalitarnych pretensji.

Przez izomorficzne⁴ odwzorowanie (Abbildung) działów matematyki w teorii mnogości przez logiczną interpretację tej ostatniej pragnie się dowieść, że matematyka jest gałęzią logiki. Dalej zakłada się przy tym, że logika ze swej strony może być uzasadniona sama w sobie, bez żadnego odwoływania się do rzeczywistości. Ze stanowiska materializmu dialektycznego należy uważać taką próbę z góry za chybioną. Jeśli matematyka wiernie odzwierciedla rzeczywistość — a że ona to potrafi, wskazuje w coraz wyższym stopniu rozwój ścisłej nauki o przyrodzie, ta rzeczywistość zaś jest wewnętrznie sprzeczna — to logika formalna arystotelesowskiego pochodzenia, opierając się w istocie na zasadach tożsamości, sprzeczności i wyłączonego środka, sama nie może dać uzasadnienia matematyki.

W rzeczywistości istnieją co do dążeń logicyzmu poważne zastrzeżenia podnoszone nie tylko przez przedstawicieli materializmu dialektycznego. Przede wszystkim w tak ważnej dyscyplinie, jak teoria mnogości, która, jak już wspomniano, zajmuje pozycję kluczową w dążeniach logicyzmu, dostrzegamy sprzeczności, które wstrząsnęły podstawami totalistycznych pretensji matematyki, czyli tzw. antynomie. Wbrew największym wysiłkom nie potrafiono ich usunąć do dziś i są one istotną przyczyną tego, co określa się jako kryzys podstaw matematyki współczesnej. Źródłem tych wszystkich antynomii jest sprzeczność zawarta w pojęciu nieskończoności, co dla dialektycznego materialisty jest samo przez się zrozumiałe.

„Nieskończoność matematyczna jest zapożyczona z rzeczywistości, chociaż nieświadomie, i dlatego może być wyjaśniona tylko na podstawie rzeczywistości, a nie na podstawie siebie samej i nie na podstawie abstrakcji matematycznych.”⁵

A zatem ze względów zasadniczych nie sposób uniknąć tego, że do uzasadnienia matematyki wchodzą elementy poza-logiczne, zaczerpnięte ze świata realnego. Logicyzm usiłuje poradzić sobie z tą nieprzyjemną dla niego sytuacją przez wprowadzenie trzech aksjomatów natury nietautologicznej, a mianowicie: pewnika wyboru, pewnika redukowalności i pewnika nieskończoności. Przez to jednak logicyzm opuścił już teren logiki czystej i popełnił ciężki grzech wobec idealizmu, albowiem do tych wszystkich trzech „z zewnątrz“ zaczerpniętych zasad stosują się wyżej przytoczone słowa Engelsa. Dla przepełnienia logicznego pucharu goryczy okazało się, że nawet w najbardziej wewnętrznej sferze logiki matematycznej trafiają się „skazy piękności“ , które uniemożliwiają samo-uzasadnienie. Badając „pismo święte“ logików matematycznych: „Principia Mathematica“ Russella i Whitehead’a Goedel dokonał odkrycia, że niesprzeczności logicznego systemu zdań nigdy nie można dowieść w ramach samego systemu, że więc zawsze trzeba stosować procedurę końcową, która sięga poza granice systemu.

Behmann próbował przedstawić trudności myślowe logiki matematycznej jako skutek niedozwolonego stosowania pewnych przez definicję wprowadzonych znaków, ale i to objaśnienie nie może być uznane za zadowalające. Dla nas interesujące jest to, że jego próba doprowadzająca go do wniosku o dopuszczalnej sprzeczności wychodzi ze wzoru — f (f), który orzeka: Nie jest prawdą, że funkcja f może czynić zadość samej sobie. Określa on zatem funkcję G, która ma przedstawiać własności „nie czynienia zadość samej sobie“. Wtedy mamy: G (f) = — f ( f ). Jeżeli teraz podstawić f = G to otrzymamy: G(g) = — G (g), a to znaczy, że formalno-logiczna wypowiedź doprowadza do swego własnego zaprzeczenia. To jednak w dalszym ciągu oznacza, że zasada sprzeczności, kamień węgielny logiki formalnej, jest nieważna i to w następstwie konsekwentnego stosowania logiki formalnej. Próba uniknięcia takich sprzeczności przez ograniczenia zakresu wchodzących w grę zmiennych, nie może być przekonywująca z uwagi na charakter ogólnych, zasadniczych celów logicyzmu, przeciwnie, odsłania ona raczej ograniczoność logicyzmu.

Reasumując stwierdzamy zatem, że logice nie udało się do dnia dzisiejszego sprowadzić matematyki do logiki za pomocą wyłącznie logicznych środków. Chcemy tutaj w dalszym ciągu podkreślić, że nawet w wypadku udania się takiej redukcji nie nastąpiłoby wzmocnienie pozycji idealizmu, ponieważ sama logika nie jest w stanie uzasadnić samej siebie za pomocą własnych środków. W szczególności nie udaje się jej doprowadzić do powszechnego zapanowania zasady sprzeczności. Jest to konstatacja, która jest sensowna tylko w materializmie dialektycznym, zaś dla każdego innego systemu filozoficznego skutki jej są katastrofalne. Próbę ukonstytuowania spoczywającego na swoich własnych fundamentach państwa czystego, niezależnego od materii ducha spotkało zatem niepowodzenie. Jest to to, co już stwierdził Engels w swej polemice z Dühringiem:

„Ale skąd myślenie bierze te zasady? Z siebie samego? Nie, bo pan Dühring powiada sam: dziedzina czysto idealna ogranicza się do schematów logicznych i do konstrukcji matematycznych… Wobec tego jednak cały stosunek zostaje odwrócony: zasady są nie punktem wyjścia, lecz końcowym wynikiem badania; nie zostają stosowane do przyrody i historii ludzkiej, lecz wyabstrahowane z nich; to nie przyroda i świat człowieka kierują się zasadami, lecz zasady są o tyle tylko słuszne, o ile są zgodne z przyrodą i historią…“⁶

3. F o r m a l i z m

W formalizmie płaszczyzny zetknięcia matematyki i filozofii nie są tak wyraźnie widoczne jak w logicyzmie. Matematyka i logika są tutaj rozpatrywane tylko jako system wzorów wyjściowych i reguł operacyjnych, które nie są niezależne od jakiejkolwiek treści i które na razie nie posiadają żadnego konkretnego znaczenia. Badaniu podlegają tylko relacje między pozbawionymi znaczenia znakami. Pozornie nie istnieje tutaj żaden przedmiot matematyki. Zasługi formalizmu w odniesieniu do zagadnienia podstaw matematyki są bardzo wielkie. Materializm dialektyczny szeroko podkreśla jego pozytywne tendencje. Engels szkicuje później program roboczy formalizmu, pisząc:

„Żeby jednak te formy i stosunki można było badać w czystej postaci, trzeba je całkowicie oddzielić od ich treści, odrzucić ją jako obojętną”⁷

Formalizm reprezentowany głównie przez Hilberta, jest tym prądem w matematyce, który podkreśla z jak największym naciskiem swoje filozoficzne desinteressement. A jednak możemy właśnie tutaj stwierdzić głębokie wtargnięcie obiektywnego idealizmu. Kiedy Hilbert, rozpoczynając swoje słynne dzieło „Podstawy geometrii” mówi, że chce „pomyśleć rzeczy”, które nazywa „punktami i prostymi” – to musimy traktować tę wypowiedź jako wskrzeszenie idei platońskich. Matematyczne „puste formy”, które wypełniają się „znaczeniem” dopiero przez ich izomorficzne podporządkowanie jakimkolwiek tworom, które jednak istnieją bez tych tworów, niezależnie od nich, są z istoty swojej platońskimi ideami. W związku z tym Engels słusznie zwraca uwagę, że owe puste formy zostały otrzymane na drodze abstrakcji ze świata rzeczywistego:

„Ale jak we wszystkich dziedzinach myśli, na pewnym stopniu rozwoju prawa wyabstrahowane z rzeczywistego świata zostają od niego oddzielone i przeciwstawione mu jako coś samodzielnego, jako płynące z zewnątrz prawa, którymi świat ma się kierować”.⁸

Fakt, że poszczególne dziedziny świata realnego pozwalają się przedstawić jako „modele” i „interpretacje” tworów matematycznych, nie dowodzi zatem, że „puste formy” są pierwotne, zaś „modele” wtórne – jak to nam chcą podsunąć do wierzenia idealistyczne wywody formalizmu — lecz odwrotnie, że te „puste formy“ zostały wyabstrahowane ze świata rzeczywistego i dlatego i tylko dlatego pozwalają się do rzeczywistego świata stosować. W równej mierze wyprowadzalność wielkości matematycznych jednych z drugich, całokształt stosunków między znakami, nie dowodzą bynajmniej ich „istnień samych w sobie i dla siebie” („An-und für-sich Exisiteren“ ), lecz odzwierciedlają jedynie prawidłowe powiązanie świata, z którego owe znaki i formy zostały otrzymane przez abstrakcję.

Czy znaczy to jednak, że niezależnie od człowieka nie istnieją w ogóle żadne formy matematyczne, że są one raczej wytworami subiektywnymi? Bynajmniej! Formy matematyczne istnieją w świecie realnym i istniały tam przedtem, nim je ludzie odkryli.

„Rezultaty geometrii nie są niczym innym jak naturalnymi właściwościami różnych linii, powierzchni i ciał, i ich kombinacji, które przeważnie zachodzą już w przyrodzie na długo przed zjawieniem się człowieka“⁹

Taki i tylko taki sens ma „istnienie samo w sobie i dla siebie“ form matematycznych. Nie znaczy to, że mamy do czynienia tylko z tymi tworami matematyki, które istniały w świecie rzeczywistym już przed człowiekiem i które zatem nie zostały wynalezione względnie stworzone, lecz jedynie odkryte. Jak we wszystkich dziedzinach tak i w matematyce człowiek stworzył wiele nowego, które przed nim nie istniało. Jego punktem wyjścia były jednak już istniejące, ze świata realnego czerpane formy.

4. K o n w e n c j o n a l i z m

Jeżeli w logicyzmie dostrzegamy echa realizmu, zaś w formalizmie cechy idealizmu obiektywnego o postaci platońskiej, to w konwencjonalizmie ujrzymy oddziaływanie subiektywnego idealizmu na matematykę. Nie jest zatem sprawą przypadku, że Poincare, naczelny reprezentant konwencjonalizmu stał bardzo blisko owego subiektywistyczno – idealistycznego empiriokrytycyzmu, który został tak druzgocąco skrytykowany i zredukowany do solipsyzmu przez Lenina.

Dla konwencjonalizmu twierdzenia matematyczne nie są ani prawdziwe ani fałszywe, są to jedynie następstwa myślowe z góry przedtem zadanych reguł gry i dowolnie ustalonych pewników, którym nie należy przypisywać żadnej prawdziwości (Wahrheitsgehalt), lecz które posiadają jedynie charakter definicji, dowolnych umów. System matematyki okazuje się tu systemem żądań i umów. Istnieją tylko operacje celowe i niecelowe. Jest jasne, że to ujęcie matematyki jest obarczone elementem subiektywnej samowoli i pozbawione jest obiektywnego kryterium sprawdzalności. Na podstawie czego ma być oceniana celowość i „ekonomiczność myślenia“ pewnika lub reguły rachunkowej? W ostatecznym rachunku na podstawie subiektywnego ujęcia poszczególnego matematyka.

„Wystarczy postawić zagadnienie, aby spostrzec absurdalność, subiektywizm takiego zastosowania kategorii „ekonomii myślenia“ . Myślenie ludzkie jest wtedy ekonomiczne , kiedy wiernie odzwierciedla obiektywną prawdę, zaś kryterium tej wierności stanowi praktyka, doświadczenie, przemysł“¹⁰

Długa historia matematyki i uwieńczone powodzeniem zastosowanie matematyki do nauk przyrodniczych obalają zapatrywania konwencjonalistów. Rodzaj matematyki, który należy zastosować, wyznacza natura przedmiotu i nie zależy on od naszych umów ani życzeń możliwie jak największej ekonomii myślenia. Mimo to i konwencjonalizm zawiera ziarno prawdy. Dla poparcia swoich tez powołuje się on na to, że w licznych wypadkach jeden i ten sam stan faktyczny może być wiernie opisany przez różne geometrie, że więc od naszego widzimisię zależy, którą z nich zechcemy wybrać. U podstawy tego zjawiska leży fakt, że stany faktyczne mogą wyznaczać matematykę, która ma je odzwierciedlać, tylko do izomorfii włącznie, że więc na miejsce jednej struktury matematycznej możemy z równym powodzeniem użyć struktury izomorficznej.

Tak więc na przykład wszelkie przestrzenne stany faktyczne, w których pewnik o prostych równoległych nie odgrywa żadnej roli mogą być opisane przez euklidesową, albo przez hyperboliczną geometrię. Wybór między nimi obiema będzie w tym wypadku określony jedynie przez względy „ekonomii myślowej“ , to znaczy przez rozważenie, za pomocą której z tych geometrii można osiągnąć cel przy jak najprostszym rachunku. Ta swoboda wyboru kończy się jednak z chwilą, gdy postęp naszej wiedzy przekraczając granice tych stanów faktycznych, zmusza nas do przyjęcia pewnego określonego aksjomatu o prostych równoległych.

5. K r y t y c y z m

W przeciwieństwie do analityczno -tautologicznego ujęcia matematyki przez formalizm i logicyzm, powołujący się na Kanta krytycyzm traktuje matematykę jako system sądów syntetycznych a priori.

Nie przeczy się przy tym co prawda, że do sformułowania sądów matematycznych doprowadza doświadczenie, ale twierdzi się, że ich uzasadnienia nie należy szukać w doświadczeniu, lecz że opierają się one o właściwe filozofii kantowskiej „czyste spostrzeżenie“ (reine Anschauung). Przez to stawia się pod znakiem zapytania uwarunkowanie materialne pojęć matematycznych wykazane przez materializm dialektyczny na podstawie historii matematyki. Krytycyzm bowiem twierdzi, że powstawanie pojęć matematycznych w mózgach ludzkich określonej epoki nie ma nic wspólnego z usprawiedliwieniem ontologicznym tych pojęć.

Jeżeli chodzi o krytycyzm, to należy przede wszystkim stwierdzić, że i on nie może rozwiązać paradoksów logiki matematycznej i antynomij teorii mnogości i że to jest w ogóle możliwe jedynie dla materializmu dialektycznego. Dalej, marksistowskie kryterium praktyki przyznało geometrii nieeuklidesowej rolę rozstrzygającą w odbiciu świata rzeczywistego. A stąd wynika, że „czyste spostrzeżenie“ Kanta, którego bazą są pewniki euklidesowe, nie jest pewnym źródłem poznania. Fakt istnienia wielu prawdziwych geometrii oznacza więc, że wbrew poglądowi Kanta rozum nie może rozstrzygnąć sam, która z nich jest „prawdziwą“ , względnie rzeczywistą geometrią. To rozstrzygnięcie może dać tylko praktyka i mianowicie tylko dzięki temu, ze przedmiot istnieje niezależnie od podmiotu.

6. E m p i r y z m

Według empiryzmu matematycznego sądy matematyczne zostały wyabstrahowane z rzeczywistości. Pewnikom matematycznym nadaje się charakter hipotez naukowych. Matematyka jest traktowana jako nauka przyrodnicza. Poszczególne działy matematyki powstają przez abstrakcję powiązań ilościowych poszczególnych materialnych zbiorów przedmiotów (Gegenstandsbereiche). Różnice strukturalne rozmaitych obszarów świata prowadzą więc do powstawania różniących się od siebie dziedzin matematyki.

W empiryzmie należy widzieć bez wątpienia bardzo istotny aspekt wiedzy matematycznej. Jest to jedyny kierunek, który podkreśla z naciskiem związek matematyki ze światem realnym.

„Jeżeli matematyk nie pozwoli się omamić tej konstruktywnej działalności swojego ducha … będzie wiedział jak znaleźć związek fizyki teoretycznej z doświadczeniem, ale na pierwszy rzut oka i dla człowieka nie wtajemniczonego otrzymuje się pozór dowolnej konstrukcji teoretycznej.¹¹

Mimo swoich niezaprzeczalnych zasług empiryzm odzwierciedla jednakże tylko część prawdy poznania matematycznego. Ograniczając się do doświadczenia jako jedynego źródła poznania jest on materializmem mechanistycznym.

„Głównym brakiem wszelkiego dotychczasowego materializmu — feuerbachowski włączając — jest to, że przedmiot, rzeczywistość, zmysłowość – są ujęte tylko w formie przedmiotu lub spostrzeżenia, nie zaś jako ludzka, zmysłowa działalność i praktyka, nie subiektywnie“.¹²

Stanowisko empiryzmu oznacza zaprzeczenie jakiejkolwiek własnej prawidłowości wewnętrznej w matematyce i pomija twórczą rolę ludzkiego ducha, której znaczenie w rozwoju matematyki jest wybitne.

7. I n t u i c j o n i z m

W przeciwny błąd przeceniania roli działalności ludzkiej popada intuicjonizm. Z jego punktu widzenia matematyka nie jest systemem prawd, które istniały przed ich odkryciem, lecz gmachem złożonym z konstrukcji, które człowiek wytworzył sobie, w celu opanowania otoczenia. Intuicjonizm dopuszcza wnioski tylko pod tym warunkiem, że zawierają one metodę konstrukcji, przeprowadzają za pomocą skończonej ilości operacji. Intuicjonizm opowiada się nie tylko przy kryterium praktyki, działalności ludzkiej, uznaje on również sprzeczny charakter nieskończoności, odrzucając rozciągnięcie zasady wyłączonego środka na mnogości nieskończone. Między dwoma sprzecznymi wnioskami pozwala on zatem na istnienie nierozstrzygalności.

Jest dla nas okolicznością interesującą, że w pozostawionych matematycznych rękopisach Marksa można znaleźć oddźwięki na pozytywne strony intuicjonizmu. Marks dopuszcza na przykład operację różniczkowania tylko w jednej formie, która unika nieskończenie drobnych przyrostów i przejść do granicy. Na przykład dopuszcza on różniczkowanie funkcyj y = x ³ tylko w sposób następujący:

Pisze on przy tym w stylu, który kojarzy się z intuicjonizmem.

„Transcendentalne albo symboliczne nieszczęście rozgrywa się tylko po lewej stronie, straciło ono jednak swoją okropność, ponieważ okazuje się tylko wyrażeniem procesu, który zachował swoją rzeczywistą treść już po prawej stronie równania“.¹³

O ile jednak intuicjonizm powołuje się wyłącznie na finistyczną konstruowalność form matematycznych, o tyle tkwi on w idealizmie kantowskim.

„Dlatego też było tak, że w przeciwieństwie do materializmu stronę czynną rozwijał idealizm, ale tylko abstrakcyjnie, ponieważ idealizm oczywiście nie zna rzeczywistej zmysłowej działalności jako takiej“.¹⁴

Zupełne zastąpienie kryterium praktyki przez kryterium konstruowalności doprowadza intuicjonizm do rezygnacji z rozległych dziedzin matematyki, jako bezsensownych, aczkolwiek owe dziedziny matematyki dowiodły swej prawdziwości przez wierne odzwierciedlenie realnego świata. W obliczu tego stanu rzeczy musimy stwierdzić, że w intuicjonizmie matematycznym elementy materializmu dialektycznego kłócą się z elementami kantowskiego idealizmu subiektywnego. Engels wypowiada się o stosunku między konstruowalnością a empirią w sposób następujący:

„…Dühring może w równie małym stopniu dowieść materialność i całego bytu, jak i wykonstruować (heraus konstruiren) z jakiegokolwiek aksjomatu matematycznego trójkąt, kulę, albo wypowiedzieć twierdzenie Pitagorasa. W obydwu wypadkach konieczne są realne warunki przedwstępne, przez których badanie można osiągnąć dopiero owe rezultaty“.¹⁵

8. M a t e r i a l i z m d i a l e k t y c z n y

Materializm dialektyczny pojmuje stosunek matematyki do realności w sposób istotnie głębszy i bardziej wyczerpujący niż wszystkie wyżej omówione kierunki. Sądzi on, że formy matematyczne pochodzą nie z wyimaginowanego państwa ducha, lecz ze świata realnego. Liczby i ich stosunki zostały otrzymane z konkretnej rzeczywistości w wyniku przewlekłego procesu historycznego, którego szczegóły są nam dobrze znane ze studiów nad historią starożytną Egiptu, Sumerii i Akkadii. Przeminęły dalsze tysiąclecia zanim liczby zostały zastąpione przez zmienne i dopiero na końcu tego bardzo długiego rozwoju powstały formy matematyczne, które mogą być traktowane jako swobodne twory myślenia matematycznego.

„Pojęcia i liczby i figury wzięte są nie skądinąd, jak z rzeczywistego świata …Do liczenia potrzebne są nie tylko przedmioty podlegające liczeniu, ale już także zdolność abstrahowania przy rozpatrywaniu tych przedmiotów od wszystkich ich właściwości poza liczbą …W ten sposób otrzymujemy … a i b, x i y, stałe i zmienne, a dopiero na samym końcu dochodzimy do własnych swobodnych tworów i fantazji, mianowicie do wielkości urojonych”.¹⁶

Jeżeli zatem materializm dialektyczny podkreśla z całym naciskiem materialne pochodzenie matematyki, to nie wynika stąd, że nie uznaje on, od pewnego określonego — skądinąd względnie wczesnego — stopnia rozwoju poczynając, pewnej własnej prawidłowości w matematyce. Proces powstawania nowych dyscyplin matematycznych na podstawie coraz to nowych potrzeb społeczeństwa ludzkiego i poznawania coraz to nowych związków w świecie materialnym zostaje rozszerzony i uzupełniony przez odbywający się według własnych praw rozwój matematyki. Ów rozwój według własnych praw może doprowadzić ze swej strony do wytworzenia nowych działów matematyki, które bynajmniej nie muszą być bezpośrednio wyabstrahowane z rzeczywistości, lecz które, prędzej czy później, często nawet nie bezpośrednio i bardzo okrężną drogą — rzeczywistość musi potwierdzić. Bowiem przy wszelkiej prawidłowości własnej rozwój matematyki jest także częścią rozwoju naszego myślenia, a przeto naszego rozwoju społecznego w ogóle i znajduje się wskutek tego w stanie ciągłego oddziaływania wzajemnego ze wszystkimi innymi fragmentami tego rozwoju. Ta względna, uwarunkowana prawidłowość własna czyni powstanie takich na przykład dyscyplin jak geometrii nieeuklidesowej, algebry kwaternionów macierzy nie podlegających prawu przemienności, które pojawiły się z początku jako swobodne twory rozumu, a później jednak — jeśli nawet w poszczególnych wypadkach w 100 lat później — odsłoniły swoją łączność z rzeczywistością.

Tak więc zdarza się, że istnieją gałęzie matematyki, które dotychczas nie posiadają żadnej interpretacji w świecie rzeczywistym, jak na przykład funkcje wszędzie-ciągłe, ale nigdzie nie różniczkowalne, albo dyscypliny takie, jak geometria nieeuklidesowa, które zostały odkryte 100 lat przed swoim praktycznym zastosowaniem w fizyce. Jeśli między takimi formami — często bardzo długo po ich odkryciu — i pewnymi obszarami rzeczywistości stwierdzamy istnienie odpowiedniości to dzieje się to dlatego, że ludzki mózg jest sam produktem rozwoju przyrody, ludzkie myśli zatem w ostatecznym rachunku nie przeczą rzeczywistości, lecz jej odpowiadają. Kryterium swej prawdziwości znajdują formy i sądy matematyczne w praktyce ludzkiego działania. Ponieważ rzeczywistość jest wewnętrznie sprzeczna, przeciwność ta musi wystąpić także w każdej odzwierciedlającej ją dyscyplinie matematycznej. Próby tautologicznego uzasadnienia matematyki, wytępienia bez reszty wszelkich paradoksów antynomii okazują się zatem beznadziejne. Wszędzie tam, gdzie się to pozornie udaje, owe paradoksy i antynomie wyłonią się na nowo na wyższym stopniu x i w nowej formie. Z tego samego powodu wszelkie próby zredukowania analitycznych operacji rachunkowych do operacji algebraicznych, wymagających nieskończonej ilości działań wykonalnych za pomocą skończonej ilości działań i redukowania operacji ciągłych do nieciągłych, skazane są na niepowodzenie, ponieważ występujące tutaj pary pojęć odzwierciedlają różnice jakościowe danych realnych stanów faktycznych i odpowiadają sprzeczności wewnętrznej realnego świata oraz jego jakościowemu zróżnicowaniu.

Reasumując powyższe, możemy przedstawić materialistyczne jądro matematyki, obejmując jej stosunek do rzeczywistości jak następuje:

1. Matematyka powstała historycznie z potrzeb materialnych społeczeństwa i pochodzenie jej jest materialne.

2. Formy matematyczne preegzystują w formach materialnych przyrody.

3. Nowe metody matematyki powstają z potrzeb praktyki społecznej.

4. Jak wszystkie nauki, tak i matematyka, od pewnego określonego stadium rozwojowego poczynając, zaczyna rozwijać się według własnych praw, co doprowadza do wytworzenia się nowych form, których powiązanie z praktyką ludzką jest dane tylko pośrednio, które jednak tej praktyce i światu materialnemu nie przeczą, lecz mu odpowiadają.

Przypisy:

1 Smuts w swoim przemówieniu z 23 września 1931, z okazji obchodu Stulecia Brytyjskiego Towarzystwa Naukowego (The British Association of Science).

2 Immanuel Kant — Kritik der reinen Vernunft — (Przedmowa do drugiego wydania, Lipsk 1924, str. 16— 17).

3 F. Engels — Anty-Dühring, „Książka“ 1948, str. 144— 145.

4 Przez izomorfię dwóch obszarów (zbiorów, zakresów) rozumie się fakt, że każdemu elementowi jednego obszaru odpowiada element drugiego obszaru i każdemu stosunkowi pomiędzy elementami jednego obszaru odpowiada stosunek między odpowiednimi elementami drugiego obszaru.

5 F. Engels — Herrn E. Dührings Umwälzung der Wissenschaft (Dietz Verlag, 1948, Anhang, str. 465).

6 Engels – Anty-Dühring, „Książka” 1948, s. 44.

7 Ibid, s. 48.

8 Ibid, s. 49.

9 F. Engels — Herrn E. Dührings Umwälzung der Wissenschaft, (Dietz Verlag, Anhang, str. 421).

10 Lenin — Materializm i empiriokrytycyzm, Dzieła, wyd. IV ros. t. X IV , str. 157.

11 Abel Rey — La théorie phisique chez les physiciens contemporains, Paryż 1907, str. 321.

12 K. Marks — Tezy o Feuerbachu.

13 K. Marks — Nieopublikowane rękopisy.

14 F. Engels — Herrn E. Dührings Umwälzung der Wissenschaft, (Dietz Verl, str. 420— 421).

15 K. Marks — Tezy o Feuerbachu.

16 F. Engels — Anty-Dühring, „Książka“, 1948, str. 48.