NOTA: poniższy artykuł pochodzi z książki pt. „Filozofia nauk przyrodniczych” autorstwa L. Bażenowa, K. Morozowa i M. Słuckiego (Książka i wiedza, 1968). Autorem niniejszego rozdziału zamieszczonego w książce pod tym samym tytułem jest Morozow.

Szybki rozwój matematyki, jej powszechne stosowanie w technice, pojawienie się uniwersalnych maszyn liczących i związana z tym „matematyzacja” ekonomii i medycyny, pedagogiki i psychologii, lingwistyki i teorii sztuki – nauk, którym niegdyś były całkowicie obce wpływy metod matematycznych – wszystko to wzmogło zainteresowanie filozoficznymi zagadnieniami matematyki. Rozwiązanie tych zagadnień sprzyja głębszemu zrozumieniu natury i istoty, metod i struktury matematyki jako nauki, pomaga szybciej przezwyciężyć trudności, jakie napotyka obecnie matematyka w swym rozwoju.

Pomyślny rozwój nauki możliwy jest tylko wtedy, kiedy wspiera się ona na mocnych materialistycznych podstawach, kroczy ramię w ramię z jedyną naukową filozofią – materializmem dialektycznym. Przezwyciężenie wielu trudności, ”kryzysów”, znalezienie wyjścia z najrozmaitszych „zaułków”, w które trafia w swym rozwoju matematyka, staje się niemożliwe bez przeprowadzenia analizy i krytyki idealistycznych sposobów rozstrzygania filozoficznych zagadnień tej nauki. Pomijając wszelkie inne korzyści, należy stwierdzić, że rozwiązanie tych zagadnień sprzyja rozwojowi metodologii nauki w ogóle.

Z wszystkich, nader licznych filozoficznych zagadnień matematyki wybraliśmy trzy: 1) powstanie, rozwój i swoisty charakter matematyki; 2) problem podstaw matematyki; 3) problem prawdy w matematyce. Niektóre inne ważne zagadnienia rozważymy w związku z tymi trzema.

§ 1. POWSTANIE, ROZWÓJ I SWOISTY CHARAKTER MATEMATYKI

A) Rola praktyki w powstaniu i rozwoju matematyki

Jednym z najważniejszych zagadnień filozoficznych matematyki jest zagadnienie źródeł i sił napędowych jej rozwoju. Materializm dialektyczny za podstawowe źródło i siłę napędową rozwoju nauki w ogóle uznaje w ostatecznym wyniku praktykę ludzką, przede wszystkim zaś działalność produkcyjną. Jak wielką rolę odgrywa ten czynnik, szczególnie łatwo można zauważyć w toku badań nad okresem powstawania i początkowego rozwoju nauki.

„Jak wszystkie inne nauki, wy- rosła matematyka z potrzeb człowieka: z pomiarów ziemi i pojemności naczyń, z rachuby czasu i z mechaniki.”¹

Ta teza Engelsa znajduje potwierdzenie w wyjątkowo bogatym materiale czerpanym z historii rozwoju sił wytwórczych, historii języka i matematyki.

W naszych czasach liczyć do dziesięciu potrafią nawet dzieci. Jednakże pierwotne ludy, a nawet niektóre zacofane narodowości na początku naszego stulecia nie znały pojęcia liczb abstrakcyjnych. W. A. Stiekłow przytacza zaś bardzo interesujący przykład: jeśli zapytamy Eskimosa, ile ma psów, to na pytanie to nie potrafi on dać odpowiedzi, nie zna bowiem pojęcia liczby. Zamiast odpowiedzieć wprost, zacznie wyliczać – „ … pies z łatą na boku, pies z dwiema łatami na łbie, pies bez łat na łbie, pies z urwanym uchem …” itd.

Jak tedy powstało pojęcie liczby? Nasi dalecy przodkowie nie potrafili jeszcze abstrahować od stosunków jakościowych, oddzielać stosunków ilościowych od stosunków jakościowych, każdy liczebnik miał przeto u nich charakter konkretny. Nie znali liczby 2 wiedzieli jednak, że mają dwie ręce, dwoje oczu itd. Toteż liczebnik „dwa” bywał wyrażany w rozmaitej szacie słownej, zależnie od tego, czy stosowany był do pary rąk, pary nóg czy oczu. O tym, że niegdyś liczenie było konkretne, można sądzić na podstawie sposobu wyrażania się we współczesnych wysoko rozwiniętych językach. Tak np. w języku chińskim przy liczeniu bydła między nazwę przedmiotu i liczebnik wstawia się słowo tou (głowa); używa się go również jako końcówki w nazwach przedmiotów okrągłego kształtu; między liczebnikiem i nazwą przedmiotu umieszcza się słowo bi (rękojeść), gdy mowa jest o narzędziach, słowo zaś żeń (korzeń) – gdy chodzi o liny, nici, pasy, rzemienie. W języku polskim również zachowały się stare zwroty liczebnikowe, jak np. „cztery kostki cukru”, „dziesięć sztuk bydła”, „dwa arkusze papieru” itd. Dopiero z biegiem czasu zaczęto odrywać liczby od konkretnych przedmiotów o określonych cechach jakościowych i operować nimi jako „idealnymi” ilościami. Już elementarne czynności gospodarskie plemion pierwotnych wymagały dokonywania, bodaj z grubsza, jakiejś oceny wielkości przedmiotów i liczenia ich – chociażby w sposób prymitywny (w wąskich granicach trzech, siedmiu, dziesięciu itp.). Niektóre ludy miały słowa na oznaczenie liczb 1 i 2, ilość zaś wykraczającą poza te dwie liczby określały słowem „wiele”. Toteż w wielu językach oprócz liczby pojedynczej i liczby mnogiej zachowała się tzw. liczba podwójna. W języku rosyjskim zachowały się ślady liczenia do czterech – mówi się np. 2, 3, 4 ręce, ale 5, 6 i w ogóle wiele rąk. W niektórych językach liczebniki tworzy się za pomocą powtórzeń. Np. w języku plemion australijskich zamieszkujących zatokę Coopera 1 nazywa się guna, 2 – barkula, 3 – barkula-guna, 4 – barkula-barkula². Wszystkie te fakty świadczą o trudnościach, jakie zmuszeni byli pokonywać nasi przodkowie przy tworzeniu coraz bardziej idealnych abstrakcji.

Upłynęły dziesiątki tysięcy lat, zanim człowiek przeszedł od pierwotnych pojęć ilościowych do liczenia na palcach. Oto jak opisuje ten sposób liczenia u mieszkańców Nowej Gwinei znakomity podróżnik rosyjski N. N. Mikłucho-Makłaj:

„Papuas zagina kolejno palce ręki, przy czym wydaje kolejno określony dźwięk, np. «be, be, be …». Po doliczeniu do pięciu oznajmia «ibon-be» (ręka). Następnie zagina palce drugiej ręki i znów powtarza «be, be …», dopóki nie dojdzie do «ibon-ali» (dwie ręce). Po czym liczy dalej, pomrukując «be, be …» aż do «samba-be» i «samba-ali» (jedna noga, dwie nogi). Jeśli zachodzi potrzeba kontynuowania liczenia, Papuas liczy na palcach rąk i nóg kogoś innego.”³

Liczenie na palcach stanowiło ogromny krok naprzód w rozwoju abstrakcyjnych czynności ludzkiego myślenia, nie świadczy jednak ono w żadnej mierze o apriorycznym pochodzeniu liczby.

„Dziesięć palców, na których ludzie nauczyli się liczyć, a więc dokonywać pierwszego działania arytmetycznego, są wszystkim, tylko nie swobodnym tworem rozumu. Do liczenia potrzebne są nie tylko przedmioty podlegające liczeniu, ale już także zdolność do abstrahowania od wszystkich ich właściwości poza liczbą, a zdolność ta jest wynikiem długiego rozwoju historycznego, opartego na doświadczeniu. Tak jak pojęcie liczby, tak też pojęcie figury wzięte jest wyłącznie ze świata zewnętrznego, a nie zrodziło się w głowie z czystego myślenia.”⁴

Sposób liczenia, o którym pisze Mikłucho-Makłaj, polega na ustalaniu wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości między palcami rąk i nóg a liczonymi przedmiotami. W późniejszych czasach palce rąk i nóg, a następnie także kamienie, muszle, karby na kiju, węzły na sznurku itp. stały się znakami oznaczającymi ilość liczonych przedmiotów. Jest to jeden z pierwszych przykładów modelowania jednych procesów (m.in. także operacji logicznych) za pomocą innych. Upłynęły następne tysiąclecia, zanim tego rodzaju znaki przedmiotów – a więc palce, karby itp. – zostały zastąpione znakami pisanymi (cyframi), zanim ukształtowały się systemy liczenia oparte na rozmaitych podstawach (2, 5, 10, 12, 20 i in.) i poznano działania matematyczne, by z kolei uległo rozszerzeniu samo pojęcie liczby (liczby ułamkowe, niewymierne, zespolone, hiperzespolone i in.). Historycy matematyki krok za krokiem śledzą, jak potrzeby praktyczne ludzi doprowadziły do rozwoju arytmetyki, a następnie algebry, analizy matematycznej itd.

Wbrew przekonaniu idealistów, pojęcie figury, a także i inne pojęcia matematyki nie są wrodzone, lecz powstawały na podłożu praktyki. Człowiek pierwotny sporządzał sobie krzemienne płytki w kształcie trójkąta czy trapezu nie dlatego, że unosiła się nad nim idea trójkąta czy idea trapezu, lecz dlatego, że tego kształtu płytki były wygodniejsze w użyciu. Samo zresztą słowo „geometria” oznacza pomiary ziemi, co wskazuje na wyłonienie się tej nauki z praktycznych potrzeb mierzenia gruntów, przy czym jako pierwsze jednostki pomiaru służyły najczęściej części ciała ludzkiego. Stąd też weszły w użycie takie jednostki miary, jak „łokieć”, „stopa”, „piędź” (odległość między końcem wyciągniętego kciuka i palca małego), „diujm” (ros.)⁵ itd. Ważną rolę w rozwoju pojęć geometrycznych odegrało pojawienie się rzemiosła garncarskiego i tkackiego. Nie bez powodu słowa „linia” i „len” mają w języku łacińskim podobną pisownię⁶.

„Musiały istnieć przedmioty – pisze F. Engels – które miały kształt i których kształty porównywano, zanim można było dojść do pojęcia figury. Przedmiotem czystej matematyki są formy przestrzenne i stosunki ilościowe rzeczywistego świata, a więc materiał bardzo realny. Fakt, że materiał ten występuje w formie w najwyższym stopniu abstrakcyjnej, może tylko powierzchownie przysłonić jego pochodzenie ze świata zewnętrznego. Żeby jednak te formy i stosunki można było badać w czystej postaci, trzeba je całkowicie oddzielić od ich treści, odrzucić ją jako obojętną; w ten sposób otrzymujemy punkty bez wymiarów, linie bez grubości i szerokości …”⁷

Badania historyczne pozwalają dość dokładnie prześledzić stopniowe przybieranie coraz bardziej abstrakcyjnego charakteru przez teorię i pojęcia matematyczne, stopniowe „odrywanie” się ich od fizycznego realnego świata, postępujące tak daleko, że powstało złudzenie, iż nigdy nie były one z nim w żaden sposób związane. Bez względu jednak na to, w jak wielkim stopniu stają się abstrakcyjne współczesne teorie matematyczne, bez względu na to, jak dalece zwiększa się rola dowodów logicznych w matematyce, ta ostatnia nie staje się dzięki temu nauką aprioryczną, nie ulegają zrywaniu więzi łączące ją z obiektywnym światem i praktyką społeczną.

Powstanie w okresie od XVII do XVIII wieku matematyki wielkości zmiennych było wywołane potrzebami techniki i także – pośrednio – wzrostem sił wytwórczych rodzącego się społeczeństwa kapitalistycznego. Z kolei obecny rozwój „przednewtonowskiej” matematyki wielkości dyskretnych wiąże się z szerokim rozpowszechnieniem szybko działających elektronicznych maszyn liczących, których powstanie uwarunkowały potrzeby automatyzacji przemysłu. A zatem nie tylko w stosunku do okresu powstania, lecz także w stosunku do całej historii matematyki, sięgając aż do naszych czasów, pozostaje w mocy twierdzenie, że praktyka to źródło i siła napędowa postępu matematyki.

Czy jednak w istocie praktyka stanowi bezpośrednie i jedyne źródło rozwoju wszystkich dyscyplin i teorii matematycznych? Aby móc odpowiedzieć na to pytanie, należałoby poświęcić nieco czasu omówieniu względnie samodzielnego charakteru rozwoju matematyki i wyjaśnić, na czym polega swoistość matematyki jako nauki. Z początku jednakże celowe wydaje się rozważyć zagadnienie zmian, jakie zachodziły w matematyce na przestrzeni wieków, a także ewolucji jej przedmiotu.

B) Główne etapy rozwoju matematyki. Zmiana przedmiotu badań matematycznych

Historię matematyki dzieli się zazwyczaj na cztery główne okresy: 1) okres powstania matematyki, 2) okres matematyki wielkości stałych, 3) okres matematyki wielkości zmiennych, 4) okres matematyki relacji zmiennych (matematyka współczesna). W naszych czasach, jak podkreśla E. Kolman, „matematyka wkracza w nowy, piąty etap historycznego rozwoju, który określamy z grubsza jako okres matematyki cybernetycznej.”⁸

W pierwszym okresie zdobyto umiejętność praktycznego liczenia i dokonywania praktycznych pomiarów, ukształtowano pojęcie liczby i figury, opracowano sposoby przeprowadzania działań arytmetycznych na liczbach naturalnych, stworzono systemy liczenia ustnego i na piśmie; wtedy też zaczęły kształtować się początki arytmetyki i geometrii. W końcu tego okresu matematyka zaczyna się powoli odrywać od konkretnej jakościowej natury obiektów poddawanych liczeniu i pomiarom.

Drugi okres rozwoju matematyki rozpoczyna się około VI-V wieku p.n.e., gdy nagromadzony materiał faktyczny pozwala jasno sobie zdać sprawę z samodzielnego statusu matematyki jako odrębnej nauki mającej własny przedmiot badań (liczby i figury). Okres ten kończy się na początku XVII w.

O ile w pierwszym okresie do przytłaczającej większości twierdzeń arytmetyki i geometrii dochodzono w sposób empiryczny, o tyle w drugim okresie do matematyki zaczyna przenikać myślenie abstrakcyjne. Najstarsze teksty odnalezione w Egipcie, Chaldei, Babilonie, Chinach i Indiach – to świadectwa, iż wiedza matematyczna tego okresu miała w pewnej mierze charakter spekulatywny, „dedukcyjny”. Tak np. w starożytnym Egipcie znany był sposób obliczania objętości ściętej piramidy, którego Egipcjanie nie mogli odkryć w drodze empirycznej. Opracowane już były wówczas także niektóre ogólne metody rozwiązywania jednorodnych równań liczbowych.

Logicznej poprawności konstrukcji matematycznych jeszcze więcej uwagi poświęcano w starożytnej Grecji. Matematycy greccy należący do szkoły pitagorejskiej już w VI-V w. p.n.e. podejmowali próby uszeregowania łańcucha dowodów matematycznych w określonej kolejności, by przejście od jednego twierdzenia do drugiego nie budziło u nikogo żadnych wątpliwości. Tę „dedukcyjną” metodę rozwinęli następnie Euklides, Archimedes i Apoloniusz z Pergi. Sformułowane przez nich pojęcie dowodu nie różni się niczym istotnym od pojęcia dowodu używanego w naszych czasach. Matematyka, a zwłaszcza geometria, stała się wszelako nauką dopiero wtedy, gdy zaczęto systematycznie stosować w niej dowody logiczne, gdy jej tezy nabrały charakteru ogólnego, ustalano je zaś nie tylko za pomocą pomiarów bezpośrednich, lecz także za pomocą wnioskowania.

W drugim okresie matematyka była rozwijana nie tylko na podłożu metody dedukcyjnej, lecz również metody aksjomatycznej. Obecnie mianem metody aksjomatycznej określa się taki sposób rozwijania określonej dyscypliny naukowej, że szereg jej tez (aksjomatów) przyjmuje się bez dowodu, wchodzących w ich skład pojęć nie definiuje się, wszystkie zaś pozostałe tezy (twierdzenia) wyprowadza się w sposób ścisły z owych aksjomatów, wedle z góry ustalonych praw czy reguł logicznych. Metodę aksjomatyczną w naszych czasach wykorzystuje się w wielu naukach (logice, matematyce, fizyce, chemii, nawet w biologii i lingwistyce), historycznie jednak rzecz biorąc – metoda ta powstała na terenie matematyki i stała się najbardziej swoista dla tej nauki.

Już Hipokrates z Chios w V w. p.n.e. próbował rozwinąć matematykę w sposób aksjomatyczny, czyli mówiąc inaczej – uzasadnić wszystkie jej twierdzenia za pomocą niewielkiej liczby podstawowych praw. Godnym podziwu wzorem aksjomatycznego sposobu rozwijania geometrii i arytmetyki stały się Elementy Euklidesa (III w. p.n.e.). Geometria Euklidesa bardzo daleko odeszła od „pomiarów ziemi” dzięki swemu abstrakcyjnemu charakterowi i aksjomatycznej strukturze. Należy zarazem zauważyć, iż dzielą ją znaczne różnice od współczesnych konstrukcji aksjomatycznych geometrii zwanej euklidesową i wykazuje ona szereg poważnych braków.

Po pierwsze, jak później stwierdzono (właściwie dopiero w XIX w.), system aksjomatów Euklidesa jest niezupełny. W swoich dowodach Euklides posługiwał się pewnymi aksjomatami, nie sformułował ich jednak w sposób jawny. Hilbert w Podstawach geometrii (1899 r.) istotnie uściślił i uzupełnił system aksjomatów Euklidesa, tworząc taki system, który okazał się niezbędny i wystarczający do rozwinięcia geometrii.

Po wtóre, Euklides, mimo że stosuje również prawdziwie logiczne wnioskowanie, nieustannie ucieka się do poglądowego typu wykładu. Takie definicje Euklidesa, jak „punkt jest tym, co nie ma części”, „prosta jest długością bez szerokości”, „prosta ograniczona punktami”, „płaszczyzna ma tylko długość i szerokość” i in., nie są, ściśle mówiąc, logicznymi definicjami, lecz stanowią opis pewnych wyobrażeń geometrycznych i mogą okazać jedynie pomoc w poglądowym wykładzie, nie mogą zaś służyć jako niezawodna podstawa wniosków logicznych. W aksjomatycznej geometrii Hilberta podstawowe pojęcia (oznaczające obiekty: „punkty”, „proste”, „płaszczyzny”; relacje: „należenia”, „leżenia między”) nie są definiowane wprost; ich właściwości definiuje się pośrednio poprzez system aksjomatów. W taki tedy sposób Hilbert usuwa z geometrii ostatnie resztki jej niegdyś poglądowego charakteru.

Po trzecie, Euklides początkowo rozwijał geometrię, a dopiero w drugiej kolejności wyprowadzał z niej arytmetykę i teorię liczb rzeczywistych. Fakt ten wyjaśnić można, wedle wszelkiego prawdopodobieństwa, następującą okolicznością. Przed Euklidesem wiedziano już o niewspółmierności odcinków, tj. o tym, iż mogą istnieć takie dwa odcinki (np. bok i przekątna kwadratu), na których nie sposób odłożyć całkowitą liczbę razy trzeciego odcinka bez względu na jego wielkość. Odkrycie to wywarło tak silne wrażenie na uczonych starożytności, iż np. Platon oświadczył:

„Zanim dowiedziałem się o istnieniu niewspółmiernych odcinków, byłem podobny nierozumnemu zwierzęciu.”

Ponieważ odcinków niewspółmiernych nie dało się ująć w liczbach wymiernych, a można je było jednak zbudować za pomocą cyrkla i linijki, przeto starożytni uczeni coraz częściej w swych badaniach porzucali liczenie, zaczynali natomiast konstruować. Hilbert zaś, na odwrót, rozwijając swoją geometrię, przyjmuje arytmetykę liczb rzeczywistych jako rzecz znaną, co pozwala mu do niej właśnie sprowadzić podstawy geometrii.

Z tego, co zostało tu powiedziane, jasno wynika, że geometrii Euklidesa daleko jeszcze było do doskonałości. Nie umniejsza to oczywiście w niczym zasług jej twórcy, który tak szczegółowo opracował metodę aksjomatyczną i zastosował ją do geometrii i arytmetyki.

„Kto przeczytał tę wspaniałą księgę – pisał o Elementach Euklidesa znakomity matematyk radziecki W. F. Kagan – kto potrafił zrozumieć trudności, które przezwyciężyć musiał jej autor, ten nauczył się podziwiać greckiego mędrca i geniusza reprezentowanego przezeń narodu.”⁹

Wielkim osiągnięciem drugiego okresu rozwoju historycznego matematyki było stworzenie algebry, a wraz z nią – bardziej wyszukanej symboliki. Powstanie i rozwój algebry oznaczały przejście na wyższy poziom abstrakcji – matematycy zaczęli teraz abstrahować nie tylko od jakościowych właściwości przedmiotów, jak to miało miejsce w okresie kształtowania się pojęcia liczby, lecz również od ilościowego znaczenia symboli liczbowych. Jeśli liczba 2 wyraża ogólną własność dowolnych przedmiotów (dwóch krów, dwóch rąk, dwóch drzew) polegającą na istnieniu w liczbie dwóch i stwarza możliwość abstrahowania od jakościowej natury obiektów, to wprowadzenie symboli a, b, c, … pozwoliło oderwać się również od konkretnej ilościowej treści liczb symbol literowy może bowiem oznaczać i 2, i 20, i 120.

Trzeci okres, który rozpoczął się w XVII wieku i trwał w przybliżeniu do połowy XIX wieku, łączy się z dalszym rozszerzeniem kręgu badanych relacji ilościowych i form przestrzennych.

Matematyka nie ogranicza się już teraz do liczb, wielkości abstrakcyjnych i figur geometrycznych. Przenika do niej idea ciągłości, ruchu i zmiany. Na pierwszy plan wysuwa się pojęcie funkcji. Wydobywając na jaw szczególne rysy charakterystyczne tego okresu, F. Engels pisał:

„Punktem zwrotnym w matematyce była wielkość zmienna Kartezjusza. Wraz z nią wkracza do matematyki ruch i dialektyka; stąd wynika również od razu i w sposób konieczny rachunek różniczkowy i całkowy…”¹⁰

Powstanie geometrii analitycznej oznaczało odkrycie uniwersalnej metody przekładania zagadnień geometrii na język algebry i analizy matematycznej. Geometria na pewien czas znalazła się w sytuacji dyscypliny drugorzędnej. Arytmetyka, algebra, analiza matematyczna wraz z teorią funkcji zaczęły być traktowane jako działy „czystej” matematyki, za której przedmiot uznano liczby, wielkości i zależności między nimi. Geometrię zaś traktowano jako matematykę „stosowaną”, korzystającą z wyników uzyskanych przez „czystą” matematykę. Ogromne osiągnięcia metody aksjomatycznej i pozostający w związku z tym podział na matematykę „czystą” i „stosowaną” zapoczątkowały w środowisku matematyków i filozofów (Descartes, Leibniz i in.) tendencję do interpretowania osiągnięć matematyki z punktu widzenia racjonalizmu i aprioryzmu. Wydawało im się, że powszechnych prawd matematycznych nie łączy nic z rzeczywistością, że istniały one przed doświadczeniem, co miało świadczyć o nieograniczonej sile rozumu ludzkiego.

K. Marks, analizując w swoich rękopisach matematycznych historię powstania i rozwoju rachunku różniczkowego, podkreśla jego ogromną wyższość, ponieważ

„wyrażenia różniczkowe od samego początku służyły za operacyjne wzory, za których pomocą odnajdywano następnie realne odpowiedniki.”¹¹

Marks zarazem zaznacza, iż twórcy rachunku różniczkowego oderwali się od realnego historycznego podłoża, na którym dyscyplina ta powstała, co sprawiło, że stanęli na stanowisku idealizmu. Newton, Leibniz, a następnie również d’Alembert, biorąc za punkt wyjścia same symbole rachunku różniczkowego, usiłowali podać odpowiedzi na „przeklęte pytania” – czym jest „fluksja”¹², „moment”¹³, „wielkość nieskończenie mała”, „różniczka”, „zero dzielone przez zero” itp.

Marks uprzedza, że ujęcie takie, kiedy nie bierze się pod uwagę procesu historycznego, który doprowadził do konieczności wprowadzenia symboli rachunku różniczkowego, i kiedy te ostatnie traktuje się „jak dzieci siedzące obok swej matki, zanim była ona jeszcze brzemienna”, prowadzi do mistycyzmu (jak to miało miejsce w przypadku Newtona, Leibniza i wielu ich kontynuatorów). Toteż jeśli chcemy usunąć z rachunku różniczkowego mistyczną powłokę i zrozumieć jego istotę, należy zmierzać od tego, co historyczne, ku temu, co logiczne.

Pewien krok w tym kierunku uczynił Lagrange – punktem wyjścia dlań była,,algebra”, tj. swego rodzaju, wedle wyrażenia Marksa, „realny proces” odnajdywania pochodnej. Lagrange jednakże nie doszedł przy tym do rachunku różniczkowego, wprowadzając odpowiednią symbolikę tylko zgodnie z wymogami „jednorodności oznaczeń” i „symetrii”. Marks w rękopisach matematycznych początkowo także bada pewien „realny” proces „algebraiczny”, nie zatrzymuje się jednakże, jak Lagrange, w połowie drogi, lecz wykazuje na szeregu przykładów, w jaki sposób ów „realny” proces doprowadza do pojawienia się nowych symboli różniczkowych. Dopiero potem uzasadnia on konieczność odwrócenia porządku badań, w wyniku którego symbole te występują jako podstawa do rozwijania nowego rachunku.

Idee K. Marksa odgrywają nader ważną rolę we właściwym rozumieniu procesów powstawania i rozwijania uogólnionych teorii matematycznych. Zinterpretowanie historii matematyki z punktu widzenia materializmu dialektycznego pozwala Marksowi uzasadnić konieczność i celowość dokonywania obustronnych przejść między tym, co historyczne, a tym, co logiczne w matematyce, wykazać istnienie realnego procesu wznoszenia się z niższego poziomu abstrakcji na poziom wyższy, przechodzenia w teorii od tego, co historycznie wcześniejsze, do tego, co logicznie wcześniejsze.

Początek czwartego okresu w rozwoju matematyki – okresu matematyki współczesnej – odnosi się zazwyczaj do połowy XIX wieku, kiedy teoria stała się tak dalece abstrakcyjna, że wykroczyła poza granice tzw. klasycznej koncepcji matematyki – koncepcji, wedle której przedmiotem tej nauki są liczby i figury. Nowe pojęcia i idee sprawiły, że koncepcja klasyczna, mimo iż nadal była oficjalnie uznawana przez większość uczonych, stopniowo wchodziła coraz bardziej w sprzeczność z rzeczywistym stanem rzeczy w matematyce. Sprzeczność tę do pewnego czasu udawało się jeszcze usuwać poprzez wynajdywanie odpowiednich interpretacji (bądź modeli) w pewnych działach matematyki.

W wieku XIX, aczkolwiek oznaczał on powrót do ścisłości, do dokładniejszego definiowania pojęć i ustalania zasad dowodów, nie tylko nie ustał napływ nowych, początkowo niejasnych i z trudnością dających się zinterpretować nowych pojęć, lecz – na odwrót – wzmógł się. Tak np. w algebrze pojawiają się pierwiastki urojone Galois, idealne liczby Kummera, wektory, kwaterniony, przestrzenie n-wymiarowe, poliwektory, tensory, algebra Boole’a itd.

Mając zamiar zinterpretować te nowe pojęcia matematyczne, zaczęto przywiązywać dużą wagę do tworzenia ich modeli przy użyciu terminów pochodzących z matematyki klasycznej. Tak np. pierwiastki idealne i urojone Galois interpretowano za pomocą teorii kongruencji, n-wymiarową geometrię – jako język służący do wyrażenia wyników uzyskiwanych przez algebrę o n zmiennych, liczby urojone – jako punkty na płaszczyźnie. Metoda modeli polegająca na tym, że nową, bardziej abstrakcyjną, niezwykłą, pozbawioną poglądowego charakteru teorię interpretuje się za pomocą pojęć starej, bardziej konkretnej i poglądowej teorii, do której zdążyliśmy już przywyknąć, była wielkim osiągnięciem umożliwiającym sprowadzenie matematyki na drogę ścisłości, nie pozbawiające jej żadnej z poprzednich zdobyczy.

Dalsze jednakże rozszerzenie kręgu badanych przedmiotów, pojawienie się nowych, jeszcze bardziej „dziwacznych” pojęć, daleko idące rozczłonkowanie matematyki na szereg wąskich dyscyplin, sukcesy metody aksjomatycznej – doprowadziły do stopniowego uświadomienia sobie faktu, iż w matematyce jest w pełni dopuszczalne prowadzenie rozważań nad obiektami nie znajdującymi żadnej poglądowej interpretacji, co – dodajmy – nie oznacza bynajmniej, że obiektów tych z zasady nie można interpretować, a tym bardziej – że teorie matematyczne, zajmujące się badaniem relacji między nimi, nie znajdują praktycznych zastosowań. Rozwój matematyki w XIX wieku stopniowo doprowadził do zmian samego przedmiotu tej nauki. Już zresztą nawet Leibniz, znacznie wyprzedzając swoją epokę, nie sprowadzał przedmiotu matematyki do pojęcia liczby i figury – dążył do rozwinięcia „uniwersalnej matematyki”, która powinna się zajmować „wszystkim, co w dziedzinie wyobrażeń daje się ściśle zdefiniować”¹⁴. Leibniz usiłował stworzyć naukę o abstrakcyjnych relacjach między obiektami matematycznymi – „kombinatorykę” bądź „sztukę wzorów”, która obejmowałaby nie tylko relacje między wielkościami (równość, nierówność, proporcjonalność), lecz także relacje odmiennego typu (np. zawieranie się, odwzorowanie, symetryczność, przechodniość), odgrywające tak wielką rolę we współczesnej matematyce, i podkreślał, iż do tych ostatnich należą najróżnorodniejsze relacje równoważnościowe¹⁵ w geometrii klasycznej. Jest rzeczą interesującą, że Leibniz wprowadził specjalny znak na oznaczenie relacji nieokreślonej, tj. relacji w ogóle¹⁶.

Poprzednie domysły o dokonaniu się zmian przedmiotu matematyki w połowie XIX wieku stopniowo przekształcają się w pewność. Twórca abstrakcyjnej algebry G. Boole w 1854 roku pisał:

„W naturze matematyki nie tkwi konieczność zajmowania się ideą liczby czy wielkości.”¹⁷

Hermann Grassmann utrzymywał, że „nazwa nauki o wielkościach nie nadaje się dla matematyki jako całości”, i rozwijał swój rachunek w postaci, która z góry wykluczała pojęcia liczby i obiektu geometrycznego. Cóż tedy bada matematyka? Boole daje na to pytanie wielce znamienną odpowiedź: matematyka traktuje „o operacjach samych w sobie niezależnie od rozmaitych przedmiotów, do których mogą się one stosować.”¹⁸

Jakież to odkrycia w matematyce połowy XIX wieku doprowadziły do formułowania tak dalece kategorycznych sądów? Wielu matematyków tamtych czasów cechuje dążenie do odnalezienia jedności w różnorodności faktów i metod matematycznych na pierwszy rzut oka bardzo dalekich od siebie. Znalazło to przede wszystkim wyraz w tworzeniu rozgałęzionej teorii grup świadczącej o ogromnych sukcesach metody aksjomatycznej, w powstaniu geometrii nieeuklidesowych, w opracowaniu teorii niezmienników i teorii przestrzeni wielowymiarowych.

Wprowadzone do matematyki jeszcze przez Lagrange’a pojęcie grupy zostało z wielkim sukcesem zastosowane przez Galois (1831) do rozwinięcia ogólnej teorii równań algebraicznych. On również jest autorem terminu „grupa”. Jordan w 1870 roku w sposób systematyczny wyłożył teorię grup podstawień i stworzył tym samym początki teorii grup skończonych. Doniosłą rolę w rozwoju teorii grup odegrał norweski matematyk Sophus Lie, którego koncepcje stały się elementem jednoczącym w teorii równań różniczkowych, algebrze, podstawach geometrii, w topologi i fizyce teoretycznej. Równie wielkie zasługi na tym polu położył dzięki swym znakomitym pracom niemiecki matematyk F. Klein. Istotny wkład do rozwoju teorii grup wniósł rosyjski uczony J. S. Fiodorow, który opracował ją pod kątem widzenia zastosowań w krystalografii.

Spróbujemy teraz dać elementarny wykład z zakresu teorii grup. Pozwoli to zrozumieć metody, za których pomocą buduje się abstrakcyjne systemy aksjomatów, potwierdzające materialistyczny pogląd na sposób dochodzenia do powszechnych i koniecznych twierdzeń matematyki wyprowadzanych z równie powszechnych twierdzeń w drodze wielokrotnego abstrahowania i uogólniania.

Załóżmy, że mamy zbiór liczb rzeczywistych (złożony z liczb dodatnich, ujemnych i zera). Jak łatwo się przekonać na przykładach, przy dodawaniu elementy tego zbioru podlegają następującym prawom: 1) dla wszelkich elementów x, y, z należących do zbioru jest spełniona równość (x+y)+z = x+(y+z) – prawo łączności dodawania; 2) istnieje taki element e, że dla każdego elementu x zachodzi równość e+x=x+e = x (elementem takim jest 0); 3) dla każdego elementu x istnieje element x’ taki, że x+x’=x’+x=e (elementem tym jest -x, ponieważ x-x = 0).

Sformułujemy teraz analogiczne prawa dla operacji mnożenia liczb rzeczywistych¹⁹: 1) dla wszelkich elementów x, y, z jest spełniona równość (x·y)·z = x·(y·z) – prawo łączności mnożenia; 2) istnieje taki element e, że dla każdego elementu x z zachodzi równość e·x = x·e = x (elementem takim w tym przypadku jest 1); 3) dla każdego elementu x istnieje element x’ taki, że x·x’ = x’·x = e (elementem tym jest 1/x ponieważ x·1/x=1).

Stykając się z podobnymi prawami przy przeprowadzaniu rozmaitych operacji na elementach najróżnorodniejszej natury, matematycy, rzecz naturalna, zastanawiali się, czy nie można by praw tych uogólnić. Okazało się, że można. Jeśli będziemy abstrahować od swoistości dodawania czy mnożenia i wprowadzimy znak r oznaczający jakąś uogólnioną operację (w jednych przypadkach będzie on oznaczał dodawanie, w innych zaś – mnożenie), to uzyskamy trzy uogólnione prawa: 1) dla wszelkich elementów x, y, z należących do zbioru jest spełniona równość (xry)rz = = xr(yrz) – prawo łączności dla dodawania i mnożenia; 2) istnieje taki element e, że dla każdego elementu x zachodzi równość erx = xre= x (przy dodawaniu takim elementem jest 0, przy mnożeniu zaś 1); 3) dla każdego elementu x istnieje element x’ taki, że xrx’ = x’rx = e (elementem tym w przypadku dodawania jest – x, w przypadku mnożenia zaś 1/x).

Możemy teraz zdefiniować również pojęcie grupy. Grupą nazywa się zbiór obiektów dowolnej natury, na których można dokonywać pewnej operacji xry, podlegającej wyżej podanym prawom. Prawa te określa się mianem aksjomatów grupy, czynność zaś wyprowadzania z nich wniosków jest jednoznaczna z rozwijaniem aksjomatycznej teorii grup.

Stworzenie teorii grup umożliwiło prowadzenie ogólnych badań nad najrozmaitszymi zbiorami mającymi tę samą strukturę. Był to nowy krok na drodze rozwoju matematyki, który uczynił z niej jeszcze bardziej abstrakcyjną naukę. Obecnie matematyk już nie interesuje się tym, co reprezentuje dana operacja (dodawanie, mnożenie czy cokolwiek innego) i jaka jest konkretna natura obiektów, na których dokonuje się owej operacji. Ważne jest jedynie to, by obiekty te dawały się ściśle zdefiniować za pomocą systemu aksjomatów danej grupy.

Nowe koncepcje znamionujące prawdziwą rewolucję w matematyce znalazły szczególny wyraz w stworzeniu geometrii nieeuklidesowych. Pierwszymi twórcami geometrii nieeuklidesowych byli N. G. Łobaczewski i Janos Bolyai (prace Gaussa z tej dziedziny zostały opublikowane pośmiertnie). W kilkadziesiąt lat po wydaniu pierwszych prac Łobaczewskiego (lata 1826 i 1829) i Bolyaia (1832) została opublikowana praca Riemanna O hipotezach, które służą za podstawę geometrii (1868), zawierająca wykład teorii tzw. przestrzeni metrycznych, wobec których przestrzenie: geometrii Euklidesa, geometrii Łobaczewskiego i geometrii Riemanna sensu stricto występują jako przypadki szczególne.

Na czym polega tedy istota odkryć dokonanych w geometrii i istota owych nowych koncepcji?

Aby móc odpowiedzieć na to pytanie, należy powrócić do geometrii Euklidesa i krótko scharakteryzować jej główne rysy. U podstaw tej geometrii leżą definicje, postulaty i aksjomaty. Piąty postulat głosi: przez punkt nie leżący na prostej można przeprowadzić tylko jedną prostą równoległą do niej²⁰.

Znaczna część twierdzeń Elementów Euklidesa da się dowieść bez pomocy postulatu o równoległych. Z kolei jednak część twierdzeń (np. twierdzenie, iż suma kątów w trójkącie równa się 2d, tezy teorii proporcji odcinkowych, teorii pola i objętości) opiera się na nim. W ciągu przeszło dwóch tysięcy lat nie było bodaj ani jednego wybitnego matematyka-geometry, który nie próbowałby dowieść piątego postulatu, tj. wyprowadzić go w sposób logiczny z pozostałych. Wszystkie konstruowane dowody okazywały się jednak niepoprawne, wprowadzały bowiem jawnie czy ukrycie jako argument inny postulat, równoważny dowodzonemu.

Łobaczewski i Bolyai, podobnie jak większość innych matematyków próbujących udowodnić piąty postulat, stosowali w tym celu metodę dowodu nie wprost. Istota tej metody jest następująca. Załóżmy, że musimy udowodnić twierdzenie A. Przyjmujemy na razie, iż prawdziwe jest twierdzenie pozostające z nim w sprzeczności, tj. Ā (nie-A). Wyprowadzając z tego twierdzenia i innych twierdzeń, o których z góry wiemy, że są prawdziwe, konsekwencje, dochodzimy do absurdu, tj. do sprzeczności z innymi prawdziwymi twierdzeniami. Świadczy to o tym, że nasze przypuszczenie o prawdziwości Ā było niesłuszne. Oznacza to (wedle prawa wyłączonego środka – albo A, albo Ā), że prawdziwe jest twierdzenie A. Jakkolwiek jednak Łobaczewski i Bolyai wyprowadzali wiele konsekwencji z twierdzenia sprzecznego z piątym postulatem, nie stwierdzili, by zachodziła oczekiwana sprzeczność, znaleźli się natomiast w jaskrawej sprzeczności z intuicją, tj. z potocznymi wyobrażeniami przestrzennymi. Rozwinęli oni logicznie nienaganną, bardzo jednak „dziwną” geometrię, wedle której okazywało się np., że przez punkt nie leżący na prostej można przeprowadzić wiele prostych równoległych do niej, że suma kątów trójkąta jest mniejsza od 2d i zależy od wielkości boków itd. Wynikało z tego, że geometria Euklidesa nie jest jedyną możliwą geometrią i że oprócz niej dopuszczalna jest inna, logicznie poprawna geometria, wychodząc z której można rozwinąć swoistą trygonometrię, geometrię analityczną i różniczkową.

Trzeba było wiele talentu i odwagi, by targnąć się na niezachwiany autorytet Euklidesa²¹, by rzucić wyzwanie codziennemu doświadczeniu milionów ludzi. Jeszcze więcej odwagi wymagało publiczne wystąpienie ze „zwariowanymi” ideami. Albowiem nawet wielki Gauss na to się nie odważył, zwierzając się w listach do najbliższych przyjaciół, iż lęka się „krzyku Beotów”, „rozgrzebania gniazda os i ściągnięcia ich nad swoją głowę”. Znany angielski matematyk Sylvester nazwał Łobaczewskiego Kopernikiem geometrii. Zdaniem W. F. Kagana porównanie to nie jest dla Łobaczewskiego w pełni stosowne.

„Śmiem twierdzić – pisze on – że łatwiej było zatrzymać Słońce, łatwiej było ruszyć Ziemię niż zmniejszyć sumę kątów trójkąta, zmusić równoległe do przecinania się, a na jednej prostej zbudować rozbieżne prostopadłe.”²²

Za życia Łobaczewskiego, Bolyaia i Gaussa koncepcje ich nie były zrozumiałe, po ich śmierci zaś – zostały zapomniane. Niebywałe zainteresowanie „urojoną geometrią” Łobaczewskiego zrodziło się dopiero po opublikowaniu w 1863 r. korespondencji Gaussa, w której znalazły się entuzjastyczne opinie o tej pracy. Pojawia się mnóstwo rozpraw komentujących i uogólniających geometrię Łobaczewskiego. Wśród nich odrębne miejsce zajmują prace Beltramiego, Riemanna, Kleina i wielu innych wybitnych matematyków.

Beltrami w pracy Próba interpretacji geometrii nieeuklidesowej (1868), badając powierzchnie sferyczne i pseudosferyczne, tj. powierzchnie o stałej dodatniej i stałej ujemnej krzywiźnie (za przykład pseudosfery może służyć powierzchnia w kształcie tuby gramofonowej), doszedł do nieoczekiwanego wniosku – powierzchnie te opisuje płaska dwuwymiarowa geometria hiperboliczna Łobaczewskiego²³. Na każdym wycinku tego rodzaju powierzchni figury geometryczne zachowują dokładnie te same stosunki, jakie miały miejsce między odpowiednimi figurami w planimetrii Łobaczewskiego. Jeśli na powierzchni sfery relacje między bokami trójkąta sferycznego są wyznaczane przez równania trygonometrii sferycznej, która była już dawno odkryta i nie budziła żadnych wątpliwości, pozostawała bowiem w pełnej zgodzie z naszymi wyobrażeniami przestrzennymi, to relacje między elementami trójkąta pseudosferycznego wyznaczane są przez równania tworzące w swym całokształcie trygonometrię Łobaczewskiego.

Wszystkie „dziwactwa” płaskiej geometrii hiperbolicznej Łobaczewskiego przy tego rodzaju interpretacji znajdują nie tylko potwierdzenie, lecz także wyjaśnienie. Owe twierdzenia, które wydawały się dziwne w przypadku płaszczyzny, w pełni są zgodne z naszymi zmysłowymi wyobrażeniami w przypadku pseudosfery. Ponieważ dwuwymiarowa geometria hiperboliczna uzyskała realną interpretację, wskazano bowiem wiele przypadków, w których się ona stosuje, nie można już było mówić o jej „niedorzeczności”.

Udało się następnie wykazać, iż można znaleźć jeszcze inne obiekty, w których przypadku jest spełniona geometria Łobaczewskiego. Stopniowo zaczęła się zarysowywać koncepcja, wedle której geometria ma charakter formalny i nie musi się koniecznie wiązać z określonymi konkretnymi przypadkami, a do interpretacji tego czy innego systemu geometrii mogą posłużyć najbardziej różnorodne obiekty. Stojąc na tym stanowisku, punkty, proste, płaszczyzny itd., do których przywykliśmy, musimy również uznać tylko za interpretację zwykłej geometrii Euklidesa²⁴. Można znaleźć także inne rozmaitości (zbiory obiektów), na których sprawdza się ta geometria.

Tak np. wszystkie twierdzenia planimetrii Euklidesa zostają spełnione, jeśli za „punkty” uznamy wszystkie punkty płaszczyzny z wyjątkiem jednego, przez który przechodzą okręgi o wszystkich możliwych promieniach, za „proste” zaś uznamy owe okręgi i proste przechodzące przez ów wyłączony punkt. Oto jedna z wielu interpretacji geometrii Euklidesa wysunięta przez francuskiego matematyka H. Poincarégo. We wspominanej wyżej pracy Riemanna za elementy rozmaitości (zbioru), na której realizuje się ta czy inna geometria, uznaje się nie jakieś zmysłowo postrzegane twory geometryczne, lecz po prostu pewne układy liczb: układ trzech liczb x,y,z nazywa się punktem; liczbę nazywa się odległością między dwoma punktami x₁, y₁, z₁ i x₂, y₂, z₂; układ punktów spełniających równanie Ax+By+Cz+ D = 0 nazywa się płaszczyzną.

Takie ujęcie geometrii było jednoznaczne z przejściem na wyższy poziom abstrakcji. Geometria stopniowo wykraczała poza ramy badań zwykłych figur przestrzennych. Riemann znalazł mianowicie bardzo ważne i interesujące sposoby uogólnienia geometrii. Jak wiadomo, różniczkę łuku w geometrii Euklidesowej wyraża wzór:

(1)

Uogólniony wzór na różniczkę łuku ma postać:

(2)

gdzie α, wedle terminologii Riemanna, nazywa się krzywizną rozmaitości. Jeśli α = 0 to powracamy do pierwotnego wyrażenia (1), czyli mamy do czynienia z geometrią Euklidesa. Jeśli α < 0 , to mamy do czynienia z geometrią Łobaczewskiego. Jeśli α > 0 to wówczas mamy do czynienia z geometrią Riemanna. Ta ostatnia jest jeszcze bardziej „dziwna” niż geometria Łobaczewskiego – wszystkie proste mają w niej skończoną długość, wszystkie prostopadłe zbudowane na jednej prostej przecinają się w jednym punkcie itd.

Geometrie Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna występują w pracach Riemanna tylko jako pewne szczegółowe interpretacje nader ogólnego, sformalizowanego, aksjomatycznego systemu. Beltrami rozwijał geometrie nieeuklidesowe, biorąc za punkt wyjścia krzywiznę przestrzeni, natomiast Riemann – wyrażenie na element długości, tj. stosowali oni różne zasady przy rozwijaniu tych geometrii, różne systemy aksjomatów i różne struktury.

Inni matematycy znajdowali nowe systemy aksjomatów, nowe struktury leżące u podstaw geometrii. Tak np. Helmholtz rozpoczynał rozważania geometryczne od praw ruchu (ujęcie to rozszerzył następnie W. F. Kagan), Sophus Lie budował geometrię rozważając grupy przekształceń wyrażające te ruchy, Klein brał za punkt wyjścia metrykę rzutową A. Cayleya, Hilbert wyprowadzał geometrię ze specjalnego rachunku. Ewolucji podlegały zatem nie tylko przedmiot geometrii i jej treść; zmieniała się także jej struktura.

W latach 1850-1870 Cayley, Clebsch i wielu innych matematyków rozwinęło teorię algebraicznych niezmienników, rozciągając ją również na geometrię analityczną. Np. Cayley wprowadził rzutowy sposób określania miary, oparty na analizie algebraicznych form kwadratowych, i wykazał, iż geometria Euklidesowa podporządkowuje się geometrii rzutowej.

Wielkim wydarzeniem w historii matematyki było wystąpienie Feliksa Kleina z nowymi koncepcjami, zawartymi w tzw. programie erlangeńskim (1872). Klein wykazał, iż za przedmiot geometrii można uważać system niezmienników pewnej grupy przekształceń zbioru ciągłego, rozmaite zaś systemy geometrii różnią się od siebie o tyle, o ile odmienne są struktury grup leżących u ich podstaw²⁵. Tak np. geometrie rzutowa, afiniczna i metryczna dadzą się krótko scharakteryzować za pomocą tych grup przekształceń, względem których relacje i twierdzenia każdej z tych geometrii pozostają niezmiennicze.

1. Dla geometrii rzutowej charakterystyczne jest przekształcenie wymierne, które w postaci niejednorodnej wyrażają równania:

2. Dla geometrii afinicznej charakterystyczne jest takie samo przekształcenie, ale bez mianownika:

3. Dla geometrii metrycznej charakterystyczne jest takie samo przekształcenie jak w przypadku geometrii afinicznej, pod warunkiem jednak, by wyznacznik przekształcenia αβγ

był tzw. wyznacznikiem ortogonalnym; stąd wynika niezmienniczość wyrażeń: dx’²+dy’²+dz’² = dx²+ +dy²+dz².

Koncepcja Kleina, głosząca, iż przedmiotem badań geometrii jest system niezmienników pewnej grupy przekształceń zbioru ciągłego – reprezentuje bardzo wysoki poziom abstrakcji matematycznej. Matematyk tedy w swych rozważaniach daleko odchodzi od tych obiektów fizycznych, których idealnym obrazem są pojęcia geometrii. Klein jednak, rozwijając najbardziej abstrakcyjne dziedziny „czystej” matematyki, nigdy nie oderwał się od „grzesznej ziemi” zawsze go interesowało zagadnienie stosowania abstrakcyjnych badań matematycznych w dziedzinie praktyki technicznej.

Jakościową zmianę przedmiotu matematyki wyraźnie można dostrzec również w przypadku teorii przestrzeni wielowymiarowej (prace Lagrange’a, Cauchy’ego, Grassmanna, Plückera, Kleina, a zwłaszcza Riemanna). Jeśli matematykowi wolno abstrahować od konkretnej natury obiektów opisywanych za pomocą wzorów, a nawet od konkretnego sensu operacji (dodawania, mnożenia itp.), to dlaczego by nie miał on abstrahować od faktu, iż nasza realna fizyczna przestrzeń jest trójwymiarowa? I oto matematycy odważnie rozwijają geometrie „przestrzeni” o czterech wymiarach, o n wymiarach, a nawet o nieskończenie wielkiej liczbie wymiarów. Wobec tych geometrii geometria przestrzeni trójwymiarowej okazuje się jedynie przypadkiem szczególnym.

W 1844 roku Cayley drukuje artykuł Rozdziały geometrii analitycznej n wymiarów. Riemann w swym wykładzie habilitacyjnym O hipotezach, które służą za podstawę geometrii (1854) uogólnił rozważania o elemencie długości na n wymiarów. Wykazał przy tym, że rozmaitości, w których element długości wyraża się wzorem (1), są równocześnie uogólnieniem n-wymiarowych geometrii Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna:

Początkowo wielu matematyków i filozofów odnosiło się wrogo do wszystkich tych nowych koncepcji. Tak np. niemiecki filozof-idealista H. Lotze utrzymywał z głębokim przekonaniem, iż wszystkie geometrie nieeuklidesowe to po prostu nonsens. Z kolei pewni filozofowie-empirycy oświadczali, iż przestrzeń n-wymiarowa jest wymysłem pozbawionym sensu. Aby uniknąć krytyki ignorantów, Riemann zaczął zamiast terminu „przestrzeń o n wymiarach” (R) używać terminu „rozmaitość o n wymiarach”. Tego rodzaju zamiana wyszła, być może, na dobre – ostatni termin silniej podkreśla abstrakcyjny charakter nowego pojęcia i możliwość objęcia nim nie tylko przestrzeni realnej, lecz także, jak się później przekonamy, różnorakich obiektów realnego świata.

Wielu było również i takich matematyków i filozofów, którzy z entuzjazmem przyjęli teorię n-wymiarowej przestrzeni (zwłaszcza czterowymiarowej); nie rozumiejąc jednak gnozeologicznej natury abstrakcji matematycznych, wyciągnęli oni wniosek, iż w przyrodzie oprócz przestrzeni trójwymiarowej rzeczywiście istnieje jakaś przestrzeń czterowymiarowa, i wystąpili z postulatem wykazania jej realnego istnienia w sposób eksperymentalny. Niektórzy spośród owych „entuzjastów” zaczęli po prostu uprawiać praktyki mistyczne. Np. astrofizyk i filozof Zöllner spodziewał się, że na seansach spirytystycznych zdoła wykazać realny charakter czwartego wymiaru; doszedł do wniosku, iż istnieją media, które pozostają w bliskich stosunkach z czwartym wymiarem i obdarzone są zdolnością przemieszczania różnych przedmiotów z naszej, zwykłej przestrzeni w przestrzeń czterowymiarową i na odwrót. Przedmioty te po przejściu do przestrzeni czterowymiarowej znikają, stają się niewidzialne, by po powrocie do przestrzeni trójwymiarowej znów się pojawić. Znany fizyk W. Crookes „ustalił” nawet, jak wielkie są ubytki ciężaru stołów i innych mebli przy przechodzeniu do czwartego wymiaru²⁶.

„Na te właśnie czasy – pisze Klein przypada rozpowszechnienie się mistycyzmu, który łącząc się z zafascynowaniem hipnozą, sugestią, z religijnym sekciarstwem, popularną naturfilozofią itp. na długo opanował wiele umysłów.”²⁷

Jakkolwiek wprowadzaniu do geometrii pojęcia „przestrzeń n-wymiarowa” towarzyszyły mistyfikacje, spekulacje ignorantów, spory i nieporozumienia, wywalczyło ono wszakże w końcu prawo obywatelstwa w nauce. Po stwierdzeniu zaś możliwości stosowania go w fizyce teoretycznej trudno już było się bez niego obejść. W mechanice pojęcie oznaczane symbolem Rⁿ zaczęto wykorzystywać w matematycznym opisie ciała sztywnego o n stopniach swobody. W kinetycznej teorii gazów korzysta się z pojęcia „przestrzeni o 6N wymiarach”, gdzie N jest liczbą drobin w jednej gramocząsteczce badanego gazu. Każdej drobinie właściwych jest sześć współrzędnych wyznaczających jej położenie i prędkość. Ponieważ zaś N = 6.1023, kinetyczna teoria gazów operuje pojęciem przestrzeni o 36·10²³ wymiarach. Mechanika kwantowa zachowanie się zbioru złożonego z n mikrocząstek opisuje w przestrzeni 3 n-wymiarowej. Szczególnie owocne okazało się wykorzystanie pojęcia przestrzeni czterowymiarowej w mechanice relatywistycznej Einsteina, która, korzystając w opisie realnej przestrzeni fizycznej z geometrii Riemanna, kładzie u podstaw badań niezmienniczy element długości dS² = c²dt² – dx² – dy² – dz², gdzie jako czwarty wymiar występuje czas.

Nowe koncepcje matematyczne wraz z ich wspaniałym zastosowaniem w fizyce, a następnie również w technice wykazały, iż jakkolwiek współczesna matematyka ma skrajnie abstrakcyjny charakter, jest bardzo dobrze przystosowana do odzwierciedlenia (opisu, modelowania za pomocą swego sformalizowanego języka) wielorakich zjawisk realnego świata. I nie ogranicza się ona wyłącznie do opisu obiektów ,,klasycznych”.

„Istotę matematyki – pisze Bourbaki²⁸ dostrzegamy teraz w nauce o relacjach między obiektami, o których nic nie wiemy poza tym, że cechują je pewne własności; te mianowicie własności, które wyrażone w aksjomatach znalazły się u podstaw teorii.”²⁹

Nie cała oczywiście matematyka ma taką zakończoną postać formalną. Praktyka nieustannie wysuwa nowe problemy, które poddaje się matematycznemu opracowaniu i analizie, powstające zaś w ten sposób nowe dziedziny matematyki nie od razu dają się zaksjomatyzować.

Po dokonaniu przeglądu głównych etapów rozwoju matematyki i ewolucji jej przedmiotu możemy teraz zająć się rozważeniem problemu względnie samodzielnego charakteru rozwoju matematyki, a także wyjaśnieniem pewnych momentów decydujących o swoistości matematyki jako nauki.

CDN.

---

1 F. Engels, Anty-Dühring, Warszawa 1948, s. 39.

2 Zob. E. Kolman, Istorija matiematiki w driewnosti, Mosk- wa 1961, s. 14.

3 N. N. Mikłucho-Makłaj, Putieszestwija, t. I, Moskwa- Leningrad 1940, s. 280.

4 F. Engels, Anty-Dühring, Warszawa 1949, s. 38.

5 Cal; z niem, der Daumen – wielki palec.

6 Linea (linia, kreska, sznur używany przez cieślę) i linum (len, nitka, sznur, powróz). Przyp. tłum.

7 F. Engels, Anty-Dühring, Warszawa 1949, s. 38.

8 E. Kolman, Filosofskije problemy sowriemiennoj matiema- tiki, w: Filosofija i jestiestwoznanije, Moskwa 1965, s. 226.

9 W. F. Kagan, Oczerki po gieomietrii, Moskwa 1963, s. 35.

10 F. Engels, Dialektyka przyrody, Warszawa 1953, s. 271.

11 K. Marks, Matiematiczeskije rukopisi, „Pod znamieniem marksizma” 1, 1933, s. 56.

12 „Fluksja” – od ang. fluxion – terminu wprowadzonego przez I. Newtona dla określenia pochodnej; początkowo oznaczało się ją kropką nad odpowiednim symbolem. Obecnie zarówno termin, jak i sposób oznaczania wyszły z użycia. – Przyp. tłum.

13 Wedle wszelkiego prawdopodobieństwa chodzi tu o pojęcie również pochodzące od I. Newtona; Newton terminem „moment” określał nieskończenie mały przyrost zmiennej zależnej, zwanej przezeń fluentą (ang. fluent), a więc różniczkę funkcji. Przyp. tłum.

14 G. W. Leibniz, Opuscules et fragments inedits (éd. L. Cou- turat), Paris 1903, s. 348.

15 Relacją równoważnościową nazywa się w dzisiejszej ma- tematyce relację zwrotną, symetryczną i przechodnią. Zwrotność relacji oznacza, że zachodzi ona między każdym przedmiotem a nim samym; symetryczność oznacza, że jeżeli zachodzi ona między przedmiotem A i przedmiotem B, to zachodzi również między przedmiotem B i przedmiotem A; wreszcie przechodniość oznacza, że jeśli zachodzi ona między przedmiotami A i B oraz B i C, to zachodzi również między A i C.- Przyp. red, wyd. polskiego.

16 Znak ten (~) spełniał dwojaką funkcję: 1º symbolizował ogólną, bliżej nieokreśloną relację między wielkościami r, s, v: r;s~’v; 2° w innych przypadkach wskazywał, iż relacja między r s,v jest podobna na zasadzie formalnej tożsamości do relacji między m, n, p: r; s~; v ~ m; n~; p. Zob.: L. Couturat, La logique de Leibniz, d’ après des documents inédits, Paris 1901, s. 301-302. – Przyp. tłum.

17 G. Boole, Collected Logical Works, t. II, Chicago-London 1916, s. 13.

18 Tamże, t. I, s. 3.

19 Różnych od zera. Przyp. red. wyd. polskiego.

20 Ściśle mówiąc, przytoczone zdanie nie jest piątym postulatem Euklidesa, lecz równoważnym mu postulatem wprowadzonym w 1795 r. przez J. Playfaira. Euklides sformułował ów piąty postulat następująco: jeśli dwie proste leżące na jednej płaszczyźnie przy przecięciu się z trzecią prostą tworzą kąty jednostronne wewnętrzne, których suma nie równa się dwom kątom prostym, to po tej stronie trzeciej prostej, gdzie suma ta jest mniejsza od dwóch kątów prostych, proste te przecinają się. Jak widzimy, w oryginalnym sformułowaniu ten postulat jest nader skomplikowany i bynajmniej nie oczywisty. Jak wyjaśniło się później, zawierał on również zbyteczne elementy.

21 Jak wynika z Elementów, Euklides zdawał sobie sprawę z odmiennego charakteru aksjomatu nazwanego jego imieniem, oddzielał bowiem wnioski wynikające z tego aksjomatu od wniosków wynikających z pozostałych aksjomatów (por. np. S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, Warszawa 1960). — Przyp. red, wyd. polskiego.

22 W. F. Kagan, Oczerki po gieometrii, Moskwa 1963, s. 59.

23 Interpretacja geometrii Łobaczewskiego jako geometrii pseudosfery ma jedną poważną wadę, którą później odkrył D. Hilbert.

24 Idzie tu, jak się wydaje, o intuicyjną interpretację geometrii Euklidesa jako geometrii naszego świata. – Przyp. red. wyd. polskiego.

25 F. Klein, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen 1872; zob, także: F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik in 19. Jahrhundert, t. I, New York 1950, s. 167-168.

26 Wszystkie mistyfikacje związane z czwartym wymiarem demaskuje F. Engels w artykule Przyrodoznawstwo w świecie duchów (Dialektyka przyrody, Warszawa 1953, s. 39-51).

27 F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik in 19 Jahrhundert, t. I, New York 1950, s. 170.

28 Nicolas Bourbaki wspólny pseudonim dużej grupy znakomitych współczesnych matematyków, głównie francuskich, którzy stworzyli zespół w celu napisania traktatu będącego przeglądem całej matematyki – matematyki rozwijanej na współczesnym poziomie ścisłości naukowej i opierającej się na możliwie najbardziej ogólnych zasadach; w latach 1939-1963 opublikowano już 23 tomy tego olbrzymiego dzieła zatytułowanego Elementy matematyki (Eléments de mathématique).

29 N. Bourbaki, Eléments d’histoire des mathématiques, Paris 1960, s. 33.

---