NOTA: poniższy artykuł pochodzi z książki pt. „Filozofia nauk przyrodniczych” autorstwa L. Bażenowa, K. Morozowa i M. Słuckiego (Książka i wiedza, 1968). Autorem niniejszego rozdziału zamieszczonego w książce pod tym samym tytułem jest Morozow.

C) Swoistość matematyki

Do wyjaśnienia swoistości matematyki jako nauki jest niezbędne przeprowadzenie porównania między przedmiotem matematyki a przedmiotem innych nauk, jak również między metodami stosowanymi w matematyce a metodami przyjętymi w innych naukach. Należy przy tym pamiętać, iż zarówno przedmiot matematyki, jak i metody matematyczne ulegają nieustannym zmianom.

Jak już mówiliśmy, F. Engels zdefiniował matematykę jako naukę o formach przestrzennych i stosunkach ilościowych realnego świata. Formułując tę definicję miał na celu przede wszystkim zwalczanie idealizmu, uznającego za przedmiot matematyki ,,czyste myślenie” i jego „wytwory” (pojęcia matematyczne, aksjomaty, wzory itp.). F. Engels podkreślał, że matematyka odzwierciedla określone aspekty realnego świata (formy przestrzenne i stosunki ilościowe) i ma w pełni realne, materialne pochodzenie, zarazem zaś badany przez nią materiał przybiera nadzwyczaj abstrakcyjną postać. Toteż definicji Engelsa nie należy interpretować w ten sposób, że matematyka zajmuje się bezpośrednim empirycznym badaniem fizycznych form przestrzennych i stosunków ilościowych. Przy tego rodzaju interpretacji pozbawilibyśmy matematykę jej samodzielności i przekształcilibyśmy ją w część fizyki.

W historii matematyki miały miejsce nie tylko racjonalistyczne i aprioryczne jej interpretacje, odrywające pojęcia matematyczne i aksjomaty od materialnej rzeczywistości; w dziejach tej nauki występował także płytki empiryzm.

Przedstawiciele tego empiryzmu, nie będąc w stanie zrozumieć natury matematycznych abstrakcji i roli dowodów logicznych w matematyce, usiłowali uczynić przedmiotem geometrii drobne kulki zamiast punktów, cienkie nitki zamiast prostych, płytki blachy zamiast płaszczyzn (np. „geometria rzeczywistości” Hjelmsleva i Manià), sprowadzali zadania matematyki do bezpośredniego badania czasu fizycznego (jeśli chodzi o arytmetykę) i przestrzeni fizycznej (jeśli chodzi o geometrię), uznawali tylko jedną „realną” geometrię i algebrę, odrzucali geometrie nieeuklidesowe i wielowymiarowe, rozmaite algebry itd., traktując je jako fałszywe teorie zajmujące się fikcjami.

Matematyka bada formy przestrzenne i stosunki ilościowe w ich „czystej”, wyidealizowanej postaci, abstrahując od konkretnych obiektów fizycznych i większości ich cech. Jak mieliśmy wyżej okazję się przekonać, współczesna matematyka nie ogranicza się już do rozpatrywania „klasycznych” obiektów (punkty, proste itd.); zaczęła ona badać wszelkie stosunki między obiektami, o których nie wiemy nic poza tym, że cechują je pewne określone własności.

Własności te znajdują wyraz w aksjomatach leżących u podstaw teorii. Takie ujęcie badań dotyczących stosunków między obiektami, łączące się z metodą aksjomatyczną we współczesnym tego słowa znaczeniu, pozwoliło matematyce wykroczyć poza ramy badań samych tylko form przestrzennych i stosunków ilościowych. Mocno byłby naciągnięty sąd, iż np. geometrie nieeuklidesowe czy wielowymiarowe zajmują się badaniem form przestrzennych samego tylko świata fizycznego, teoria grup zaś czy analiza funkcjonalna – badaniem właściwych mu stosunków ilościowych. Toteż ostatnimi czasy większość matematyków definiuje matematykę jako naukę o wszelkich możliwych formach przestrzennych i stosunkach ilościowych realnego świata oraz o formach i stosunkach, które łączy pewne podobieństwo bądź z pierwszymi, bądź z drugimi.

Teraz z kolei wydaje się niezbędne bardziej szczegółowe omówienie natury abstrakcji matematycznych. Czym są np. takie obiekty idealne, jak punkt bezwymiarowy, prosta nie mająca szerokości bądź płaszczyzna nie mająca grubości, którymi operuje geometria? Matematycy-empirycy przeczą istnieniu tego rodzaju obiektów, a wraz z nimi całej geometrii biorącej je za przedmiot swoich badań. Tak np. Manià, Dingler i inni utrzymywali, iż zwykła abstrakcyjna geometria nie zawiera opisu świata fizycznego, роnieważ jej punkty, proste i płaszczyzny nie istnieją w przyrodzie.

Na pierwszy rzut oka wydaje się w istocie bardzo dziwne, iż wnioski wyprowadzane na podstawie określonych praw i reguł logiki z sądów mówiących o stosunkach wzajemnych między „iluzorycznymi” przedmiotami geometrii zawsze sprawdzają się w codziennym doświadczeniu i w praktyce technicznej. Owe „iluzoryczne” obiekty jak gdyby podporządkowują sobie przyrodę materialną. W istocie jednak nie ma w tym nic dziwnego. Rozpatrzmy następujący przykład. Mamy oto przed sobą parcelę ogrodzoną płotem.

Przy obliczaniu powierzchni tej parceli i kreśleniu jej planu przeprowadzamy na papierze określone operacje geometryczne, przy czym płot zastępuje zamknięta linia, samą zaś parcelę – wycinek płaszczyzny. Pytamy teraz, na jakiej podstawie przedmioty materialne zastępujemy pojęciami geometrycznymi. Otóż sprawa jest bardzo prosta – z punktu widzenia naszego celu (obliczenie powierzchni) nie ma znaczenia, z jakiego materiału został wykonany płot, jaką ma wysokość, jakiego rodzaju jest owa parcela (płaska, pokryta nierównościami, czarnoziem czy glina). Od tego wszystkiego możemy abstrahować. Te natomiast właściwości parceli, które są ważne przy mierzeniu jej powierzchni, a więc właściwości związane z rozciągłością płotu – zachowujemy w polu widzenia. A w danym przypadku są nimi właśnie właściwości linii w geometrycznym znaczeniu słowa. Otrzymaliśmy zatem obiekt idealny – linię bez szerokości. Poddając operacjom geometrycznym ową linię, bierzemy również pod uwagę i płot, z jednego wszelako punktu widzenia – z punktu widzenia jego jednowymiarowej rozciągłości, nie interesując się natomiast jego szerokością.

Wszystkie pojęcia i twierdzenia geometryczne odzwierciedlają własności przedmiotów materialnych i prawa materialnego świata.

„Ich charakter idealny – pisze P. K. Raszewski – oznacza po prostu, że dokonujemy abstrakcji od nieistotnych w danym przypadku własności rzeczy materialnych i że – w szczególności – własności brane pod uwagę uwzględniamy z pewnym stopniem dokładności. Owa abstrakcja umożliwia wyłonienie się w czystej postaci ogólnych i istotnych własności rzeczy materialnych, które określamy mianem własności rozciągłości i badamy w geometrii. Prawa geometrii obowiązują przyrodę dlatego, że zostały z niej zaczerpnięte, i o tyle, o ile zostały z niej zaczerpnięte.”¹

Matematyka operuje wyłącznie obiektami idealnymi znajdującymi się na różnych poziomach abstrakcji. Wiele z nich pozostaje w nader odległym i pośrednim związku z materialnym światem realnym; związek ów jest zmediatyzowany przez inne obiekty idealne, które je historycznie poprzedziły. Taka wielostopniowość abstrakcyj matematycznych świadczy o wysokim poziomie myślenia matematycznego. Odrzucając w procesie abstrakcji konkretne i swoiste cechy przedmiotów, przechodząc od zmysłowych form odbicia rzeczywistości do form racjonalnych, od tego, co konkretne, do tego, co abstrakcyjne, nie tylko nie zubożyliśmy naszej wiedzy o przedmiocie, lecz wprost przeciwnie, niebywale ją wzbogaciliśmy.

„Myślenie – pisał W. Lenin – wznosząc się od konkretu do abstraktu, nie oddala się – jeśli jest poprawne … – od prawdy, ale się do niej przybliża. Abstrakcje materii, prawa przyrody, abstrakcja wartości itd., słowem, wszystkie abstrakcje naukowe (poprawne, poważne, nie niedorzeczne) odzwierciedlają przyrodę głębiej, wierniej, w sposób bardziej wyczerpujący.”²

Operacja abstrahowania pozwala człowiekowi uwolnić się od konieczności pozostawania w bezpośrednim kontakcie z badanym przedmiotem (jak to miało miejsce w przypadku pomiarów powierzchni parceli), operować myślowymi modelami przedmiotów роjęciami (np. pojęciem punktu geometrycznego, prostej itd.) jak rzeczywistymi przedmiotami, poprzez zaś zestawianie pojęć i wnioskowanie gromadzić nową wiedzę o przedmiotach.

Postęp W poznaniu teoretycznym pozostaje w ścisłym związku z tworzeniem coraz wyższych abstrakcji, z uświadamianiem sobie łączących je więzi, z opracowywaniem metod posługiwania się nimi, ze stosowaniem ich do rozwiązywania zadań praktycznych.

Z obiektami idealnymi mają do czynienia również inne nauki. Tak np. kinetyczna teoria gazów posługuje się pojęciem gazu idealnego, aczkolwiek w rzeczywistości żaden gaz nie ma cech gazu idealnego; mechanika kwantowa traktuje cząstki elementarne jako punkty lub krople, choć z góry wiadomo, iż nie są one ani jednym, ani drugim. Jeśli wszelako inne nauki (przyrodnicze) operują obiektami idealnymi, powstającymi w wyniku abstrahowania od jednej czy kilku własności (np. od kształtu, wielkości bądź struktury) przy uwzględnianiu wszystkich pozostałych, to matematyka posługuje się takimi obiektami idealnymi, które powstają w wyniku abstrahowania od wszystkich własności przedmiotów materialnych oprócz stosunków ilościowych (i im podobnych) oraz form przestrzennych (i im podobnych).

Ta swoista osobliwość matematyki – operowanie obiektami idealnymi szczególnej natury – łączy się nie tylko z osobliwościami dokonywanego przez nią bezpośredniego odbicia rzeczywistości (kiedy odbicie takie zachodzi), lecz również z wewnętrznymi potrzebami rozwoju matematyki, z jej charakterem abstrakcyjno-logicznym. Albowiem wiele obiektów idealnych wprowadzono do matematyki w celu osiągnięcia określonego stopnia uogólnienia i logicznej doskonałości jej teorii. Takimi obiektami idealnymi były np. wprowadzony przez Stirlinga w 1717 roku „podwójny punkt urojony w nieskończoności”, liczby urojone, dzięki którym osiągnięto powszechność stosowania się zasady: równanie n-tego stopnia ma n pierwiastków, itp.

Wyjątkowo wysoki poziom abstrakcyjności pojęć matematycznych, wyłączenie z nich prawie wszystkich własności przedmiotów materialnych umożliwia stosowanie matematyki do najbardziej różnorodnych obiektów przyrody i społeczeństwa. Równość 2+5=7 może oznaczać zarówno ogólną sumę złotych będących w posiadaniu dwojga ludzi, liczbę maszyn stojących w dwóch pomieszczeniach, jak i liczbę doświadczeń przeprowadzonych przez dwóch badaczy. Abstrakcyjność matematyki sprawia, że tak bardzo owocne jest stosowanie jej metod w naukach przyrodniczych, technicznych i społecznych, z drugiej jednak strony owa abstrakcyjność staje się powodem, dla którego nie wystarcza stosowanie samych metod matematycznych w badaniu realnego świata.

Inny nader ważny rys charakterystyczny matematyki, odróżniający ją od nauk przyrodniczych i technicznych, łączy się z wykorzystaniem przez nią dowodów logicznych. Żadnych dowodów empirycznych nie bierze się w matematyce pod uwagę. Obserwacja i eksperyment zostały wykluczone z arsenału jej metod naukowych. Oto co pisze o tym znany matematyk R. Courant i jego uczeń H. Robbins:

„Potwierdzenie ogólnego prawa w dowolnie wielkiej ilości przypadków nie stanowi dowodu prawa w ścisłym matematycznym znaczeniu tego słowa, nawet wtedy, jeżeli nie jest znany żaden wyjątek od tego prawa. Prawo takie pozostaje tylko rozsądną hipotezą, która może ulec zmianom stosownie do wyników późniejszych doświadczeń. W matematyce prawo lub twierdzenie jest udowodnione tylko wtedy, gdy można okazać, że jest ono logiczną konsekwencją pewnych przyjętych założeń.”³

Poglądowym potwierdzeniem tych słów może służyć rozwiązanie problemu istnienia odcinków niewspółmiernych. Czy można bez dowodu logicznego ustalić przypadek niewspółmierności odcinków? Otóż okazuje się, iż możliwość taka jest wykluczona. Praktyczne pomiary zawsze przecież przeprowadza się z określonym stopniem dokładności i dlatego też w granicach tej dokładności (bądź, jak się zwykło mówić, „praktycznie”) wszystkie odcinki są współmierne. Zwycięstwem metody dedukcyjnej w matematyce było przedstawienie przez uczonych szkoły pitagorejskiej czysto logicznego dowodu niewspółmierności boku i przekątnej kwadratu. Dowód ten skonstruowany za pomocą metody dowodu nie wprost opiera się na twierdzeniu Pitagorasa i pewnym, znanym już starożytnym matematykom twierdzeniu arytmetycznym (kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą).

Załóżmy, iż bok a i przekątna d kwadratu są współmierne, tj. istnieje taki odcinek f, który mieści się dokładnie P razy na przekątnej i Q razy na boku kwadratu. Wówczas d = Pf, a = Qf i d/a = Pf/Qf = p/f, gdzie p/q – nieskracalny ułamek (w przeciwnym bowiem przypadku już na początku skrócilibyśmy go przez największy dzielnik liczb p i q).

Podnieśmy do kwadratu prawą i lewą stronę ostatniej równości: d²/a² = p²/q². Zgodnie jednak z twierdzeniem Pitagorasa d² = 2a², czyli p² = 2q². A zatem p jest liczbą parzystą. Stąd zaś zgodnie ze znanym twierdzeniem arytmetycznym wynika, że również p jest liczbą parzystą: p = 2t. Wówczas p² = 4t² = 2q², zaś q² = 2t², czyli również q jest liczbą parzystą. Jeśli jednak p i q są liczbami parzystymi, to ułamek p/q powinien dać się skrócić. Doszliśmy tedy do sprzeczności z pierwotnym założeniem, iż p/q jest ułamkiem nieskracalnym i że d i a są odcinkami współmiernymi. Tak zatem d i a są odcinkami niewspółmiernymi.

Widzimy więc, że zagadnienie współmierności czy niewspółmierności przekątnej i boku kwadratu zostało rozstrzygnięte nie w sposób eksperymentalny, nie w drodze przeprowadzania praktycznych operacji na realnym boku i przekątnej kwadratu, lecz w drodze operacji logicznych na symbolach oznaczających boki i przekątne kwadratu.

Być może jednak, iż w prostych przypadkach wystarczy ograniczyć się do eksperymentu?

Postawimy sobie tedy za cel ustalenie eksperymentalne, iż suma kątów trójkąta równa się 2d, tj. dwom kątom prostym. Wydawałoby się, że nie ma nic prostszego – odetniemy trzy kąty trójkąta, połączymy je razem i zmierzymy, czy rzeczywiście tworzą 180°. Bądź zmierzymy każdy kąt oddzielnie i uzyskane wyniki dodamy. Okazuje się wszelako, iż żadna z eksperymentalnych metod weryfikacji nie stwarza możliwości podania jednoznacznej odpowiedzi na postawione pytanie. Nawet gdyby chodziło o jeden trójkąt, to i wówczas moglibyśmy się co najwyżej przekonać, że suma kątów trójkąta tylko w przybliżeniu równa się 180°. Różni się ona od 180° np. nie więcej niż 0°1′ bądź 0°1′1″. Możemy wszak dokonywać pomiarów kątów tylko z pewnym stopniem dokładności, zależnym od przyrządów i sposobów przeprowadzania pomiaru.

Twierdzenie jednak, iż suma wewnętrznych kątów trójkąta równa się 2d, odnosi się nie do jednego określonego trójkąta, lecz do każdego, tj. do nieskończonego zbioru trójkątów. Gdybyśmy przeto usiłowali udowodnić to twierdzenie eksperymentalnie, musielibyśmy wyczerpać nieskończoność, co z zasady jest niemożliwe. I wreszcie wykonanie postawionego zadania w drodze eksperymentu jest dlatego nierealne, że w świecie rzeczywistym nie istnieją takie trójkąty, jakie znamy z geometrii.

Podobnie nie tyle z powodu niedoskonałości naszych przyrządów kreślarskich, ile z zasady nie sposób zbudować trójkąta, którego boki stanowiłyby linie nie mające szerokości. Co więcej, linie narysowane na papierze nigdy nie będą dokładnie proste. A może za prototyp (model) naszych idealnych linii uznać promień świetlny? Ale po pierwsze promienia świetlnego nie można traktować jako linii nie mającej szerokości, stanowi on bowiem potok fotonów cząstek materialnych, które zresztą obdarzone są nie tylko własnością ciągłości, lecz także własnością nieciągłości. Po wtóre – promień świetlny w pobliżu wielkich mas przejawia skłonność do odchylania się od kierunku prostoliniowego.

Idealny trójkąt matematyczny, podobnie jak i linia nie mająca szerokości – to tylko abstrakcyjne obrazy myślowe, pojęcia, obiekty idealne, które jedynie w grubych zarysach, w przybliżeniu odpowiadają realnym obiektom. Z tego, co zostało powiedziane, wynika, iż dowodzić takich twierdzeń, jak twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych trójkąta czy twierdzenie o niewspółmierności odcinków – można tylko w sposób logiczny. Fakt ten uwarunkowany jest samą naturą obiektów matematycznych, ich charakterem idealnym.

W celu zademonstrowania odmienności metod stosowanych w matematyce i naukach przyrodniczych posłużymy się przykładem, rozpatrzymy zasadę indukcji matematycznej.

Indukcją jako metodą odkrywania ogólnych praw posługuje się na co dzień każda nauka przyrodnicza. Indukcja w naukach przyrodniczych opiera się na obserwacji i eksperymencie – w wyniku przeprowadzenia szeregu obserwacji nad naturalnymi procesami przyrody bądź po zgromadzeniu faktów eksperymentalnych formułuje się hipotezy, a następnie ustala ogólne prawa, którym podporządkowują się te czy inne zjawiska. Stopień pewności, z jakim ustala się ogólne prawa w przyrodoznawstwie, zależy od liczby przeprowadzonych obserwacji, od doboru faktów poddanych uogólnieniu, od rodzaju eksperymentu i staranności jego przeprowadzenia, od poprawności wniosków wyciąganych z zaobserwowanych faktów, od dokładności ich eksperymentalnej weryfikacji itp.

Indukcja matematyczna nader istotnie różni się od tego rodzaju „empirycznej” indukcji. Załóżmy, że mamy udowodnić twierdzenie: suma kątów w wielokącie wypukłym o n+2 bokach równa się 180° · n. Aby udowodnić to twierdzenie dla dowolnej wartości n, nie wystarczy bynajmniej dowieść go oddzielnie dla pierwszych 10, 100 czy nawet 1000 wartości n. Taka metoda dowodzenia odpowiadałaby w pełni metodzie indukcji „empirycznej”, nie zaś matematycznej.

Ogólne dowodzone twierdzenie odnoszące się do dowolnego n oznaczymy przez A. Jeśli n = 1, to chodzi po prostu o trójkąt; wiemy z geometrii elementarnej, że suma kątów trójkąta równa się 180°·1. Przy n = 2 otrzymujemy czworokąt; przeprowadzamy przekątną dzielącą go na dwa trójkąty i wówczas staje się jasne, że suma kątów czworokąta równa jest sumie kątów w dwóch trójkątach: 180° + 180° = 180°·2 Przy n = 3 otrzymujemy pięciokąt; dzielimy go w ten sam sposób na czworokąt i trójkąt; w wyniku zaś mamy: 180°·2+180°·1 = 180°·3. Rozważania nasze możemy kontynuować dla przypadku n = 4, n = 5 itd.

W ten sposób twierdzenie A udowodnilibyśmy dla dowolnej wartości n. Przekonanie o poprawności tego dowodu opiera się na dwóch przesłankach: 1) istnieje ogólna metoda dowodzenia sądu, iż jeśli prawdziwe jest twierdzenie Aᵣ to następne w kolejności twierdzenie Aᵣ_{+ 1} jest również prawdziwe; 2) wiadomo, iż pierwsze twierdzenie A₁ jest prawdziwe. Na przekonaniu, iż owe dwie przesłanki są wystarczające do ustalenia prawdziwości wszystkich twierdzeń A₁, A₂, A₃ …, a zatem również do udowodnienia twierdzenia A, opiera się właśnie logiczna zasada indukcji matematycznej, mającej w matematyce równie podstawowe znaczenie, co klasyczne reguły logiki Arystotelesowej.

Matematyka przywiązuje ogromne znaczenie, większe niż jakakolwiek inna nauka, do logicznej ścisłości, dowodności swych wywodów. Taką ścisłość i dowodność gwarantuje jej aksjomatyczna metoda rozwijania teorii. Z metodą tą wiąże się i taka cecha charakterystyczna matematyki, jak możliwość opisywania nie tylko znanych i zbadanych przedmiotów, ich własności i zachodzących między nimi powiązań, lecz także nieznanych (ale możliwych!) przedmiotów, ich własności i możliwych powiązań istniejących między nimi.

Matematyk tworzy tzw. idealny model drugiego rodzaju, który stanowi całokształt wzorów matematycznych opisujących dany obiekt (wraz z niezliczoną mnogością innych podobnych mu obiektów) i operuje bezpośrednio nie obiektami, lecz wzorami matematycznymi. Analizując te wzory i operując nimi, matematyk bada tym samym albo obiekty istniejące w realnym świecie, albo obiekty możliwe. Przypadek ostatni może mieć miejsce dlatego, że dziedzina, w której dają się zastosować wzory matematyczne, okazuje się zawsze bardziej rozległa od tej, którą opisywały one początkowo i z której zostały wyabstrahowane.

Owa cecha charakterystyczna matematyki, polegająca na opisywaniu i badaniu logicznie możliwych obiektów, stanie się lepiej zrozumiała, jeśli rozważymy problem względnie samodzielnego charakteru rozwoju tej nauki. Klasycy marksizmu-leninizmu, analizując istotę i prawidłowości rozwoju rozmaitych form świadomości społecznej (m.in. również nauki), toczyli nieprzejednaną walkę zarówno z idealizmem, który odrywa świadomość społeczną od jej materialnego podłoża (świata materialnego, bytu społecznego, sposobów produkcji), traktuje ją jako coś absolutnie niezależnego od rozwoju tego podłoża, jak i z wulgarnym materializmem, który redukuje do zera rolę idei, teorii w życiu i rozwoju społeczeństwa, neguje względnie samodzielny charakter rozwoju świadomości społecznej i jej odwrotny wpływ na materialne podłoże, na jakim powstała.

Aby właściwie zrozumieć istotę matematyki, należy zawsze pamiętać o owej krytyce idealizmu i wulgarnego materializmu. Matematyka w większym stopniu niż jakakolwiek inna nauka jest obdarzona względną samodzielnością. Rozważając zagadnienie powstania matematyki, F. Engels zawsze łączył je z praktycznymi potrzebami ludzi. Jeśli jednakże przeanalizujemy historię powstania rozmaitych teorii matematycznych w ciągu ostatnich 100 lat (rozgałęzionej teorii grup, geometrii nieeuklidesowych, teorii niezmienników, geometrii wielowymiarowych, wielu problemów teorii liczb itp.), to okaże się, że nie zostały one w sposób bezpośredni uwarunkowane praktycznymi potrzebami ludzi.

Współczesna matematyka stała się skrajnie abstrakcyjną nauką. Pojęcia, którymi ona operuje, zostały stworzone nie w drodze bezpośredniego abstrahowania od obiektów, własności i stosunków materialnego realnego świata; stanowią one uogólnienie i dalszą idealizację wcześniej powstałych pojęć. Wyjątkowo ważną rolę we współczesnej matematyce odgrywa formalnologiczna metoda aksjomatyczna. Przy rozwijaniu teorii matematyk wybiera określony system aksjomatów, od którego z kolei zależą pewne cechy charakterystyczne teorii, wybór zaś ten jest w określonych granicach (tj. względnie) swobodny. Dlaczego matematyk wybiera ten, a nie inny system aksjomatów przy rozwijaniu teorii matematycznej? Czy system ten i zbudowana na jego podstawie teoria będą prawdziwe, tj. adekwatne do rzeczywistości? Czy teoria okaże się dostatecznie przystosowana do opisu obiektywnej rzeczywistości? Idealista odpowiada na te pytania następująco: matematyk tworzy pojęcia i aksjomaty w sposób aprioryczny (D. Hilbert); pozo- stawia mu się swobodę wyboru dowolnego systemu aksjomatów, zgodnie z celami, jakie sobie stawia (G. Cantor); te czy inne systemy aksjomatów ustala się w matematyce w drodze umowy, czyli konwencji (H. Poincaré); zagadnienie adekwatnego stosunku twierdzeń matematycznych do rzeczywistości nie interesuje matematyka, przez prawdziwość jakiegoś twierdzenia matematycznego rozumie on jedynie możliwość pogodzenia go z innymi twierdzeniami, jego niesprzeczność z systemem (Hilbert, Neurath i in.); jeśli ta czy inna teoria matematyczna pozostaje w zgodzie z danymi empirycznymi, to jest to albo „szczęśliwy przypadek” (P. Boutroux), albo „nierozwiązalna zagadka” (N. Bourbaki) itd.

Aksjomaty matematyczne, które zostały w ostatecznym wyniku wyabstrahowane z realnego świata, na pewnym poziomie rozwoju matematyki ulegają oderwaniu od niego i bywają mu przeciwstawiane jako coś rzekomo absolutnie samodzielnego, jako prawa wywodzące się z zewnątrz, którym ów świat powinien się podporządkować. To złudne przekonanie o absolutnej autonomii matematyki w ogóle powodowane przez metodę aksjomatyczną i skrajnie abstrakcyjny charakter współczesnej matematyki wyraźnie występuje na jaw u Poincarégo, który pisał, omawiając „niezwykłe” geometrie:

„Im bardziej oddalają się te spekulacje od najpospolitszych pojęć, a przeto od przyrody i od zastosowań, tym lepiej wskażą nam, co może zdziałać umysł ludzki, gdy coraz bardziej uchyla się spod tyranii świata zewnętrznego.”⁴

Z idealistycznego punktu widzenia wybór systemu aksjomatów nie wymaga odwołania się do praktyki, nie wymaga konfrontacji ze stosunkami panującymi w materialnej rzeczywistości ani odnalezienia modeli w realnym świecie. W istocie jednak sprawa przedstawia się inaczej. Logiczna niesprzeczność systemu aksjomatów i możliwość wyprowadzenia z nich tych czy innych twierdzeń w najmniejszej mierze nie świadczy przecież o prawdziwości tych twierdzeń. Z drugiej zaś strony trzeba przyznać, iż większość współczesnych teorii matematycznych rozwiniętych za pomocą metody aksjomatycznej – to systemy hipotetyczno-dedukcyjne. Za przykład takiego systemu może służyć hiperboliczna geometria Łobaczewskiego, która nie wypowiada się o prawdziwości swoich aksjomatów. Wszystkie sądy tej geometrii formułowane są w następujący sposób: jeśli prawdziwe są takie a takie aksjomaty, to prawdziwe są takie a takie twierdzenia (zostały one bowiem wyprowadzone z aksjomatów przy użyciu niezawodnych środków logicznych). Teoria formalna zbudowana w sposób aksjomatyczny przestaje mieć charakter hipotetyczny tylko w tym przypadku, kiedy udaje się dla niej znaleźć treściowy odpowiednik albo w postaci obiektów rzeczywistości, albo w postaci innych teorii, które znalazły już zastosowanie w praktyce.

Zagadnienie prawdziwości systemu aksjomatycznego można rozstrzygnąć tylko w tym przypadku, jeśli porzucamy sferę logiki i w praktyce dokonujemy konfrontacji teorii z obiektywną rzeczywistością, do której poznania teoria ta ma służyć.

„Łatwo pojąć – pisze P. S. Nowikow – iż odpowiedniość między aksjomatami a przedmiotami realnego świata zawsze ma charakter przybliżony. Jeśli np. stawiamy pytanie, czy w realnej przestrzeni fizycznej sprawdzają się aksjomaty geometrii Euklidesowej, to przed udzieleniem odpowiedzi powinniśmy podać definicje fizyczne terminów geometrycznych zawartych w aksjomatach, jak «punkt», «prosta», «płaszczyzna» i in. Innymi słowy – musimy wskazać obiekty fizyczne, które odpowiadają tym terminom. Po dokonaniu takiego przyporządkowania aksjomaty przeobrażają się w twierdzenia fizyczne, które można poddać eksperymentalnej weryfikacji. Dopiero po przeprowadzeniu owej weryfikacji możemy ręczyć za prawdziwość naszych twierdzeń, za to, że są one prawdziwe w takim stopniu, jaki zagwarantowały nasze przyrządy pomiarowe.”⁵

Praktyka zatem staje się nie tylko źródłem i siłą napędową rozwoju teorii matematycznych, lecz także kryterium ich prawdziwości.

Względna samodzielność rozwoju matematyki polega również na tym, że w zakres abstrakcyjnych teorii matematycznych wchodzą nie tylko istniejące w realnej rzeczywistości obiekty i łączące je stosunki. Stało się już niemal czymś zwyczajnym, iż matematyka wyprzedza technikę i przyrodoznawstwo. Wywodzi się ona z praktyki, wznosząc się jednak na szczyty abstrakcji, tworzy modele formalne możliwych obiektów rzeczywistości, obiekty te zaś w dalszym rozwoju nauki i praktyki są z reguły odkrywane w realnym świecie. Za jaskrawy przykład tego rodzaju teorii mogą służyć: geometrie nieeuklidesowe, które początkowo wydawały się czystą igraszką umysłu, następnie zaś znalazły zastosowanie we współczesnej fizyce; abstrakcyjna algebra Boole’a, wykorzystywana przy konstruowaniu schematów przekaźnikowo-kontaktowych; teoria grup stosowana w krystalografii.

Względną autonomię matematyki można wszelako rozpatrywać nie tylko w aspekcie gnozeologicznym, lecz również w aspekcie społeczno-historycznym. Co prawda, w tym przypadku względna autonomia matematyki niewiele będzie się różniła od względnej autonomii nauk przyrodniczych. Przejawia się ona bowiem w następujących okolicznościach.

1. Zmiana formacji społeczno-ekonomicznych (polegająca m.in. na gruntownych zmianach charakteru sił wytwórczych, stosunków produkcji, struktury klasowej społeczeństwa i nadbudowy) nie pociąga za sobą w konsekwencji niweczenia osiągnięć matematyki epok minionych. Reguły arytmetyczne służą wszystkim klasom we wszystkich formacjach społecznych.

2. Rozwój matematyki cechuje ciągłość. Matematyk, tworząc teorię, najczęściej bierze za punkt wyjścia nie praktykę wytwórczą i nie dane empiryczne innych nauk, lecz materiał zgromadzony już przez jego poprzedników.

3. Zmiany dokonujące się w matematyce nie następują natychmiast po zmianach charakteru sił wytwórczych, tym bardziej zaś – charakteru stosunków produkcji. Nienadążanie matematyki za potrzebami rozwoju ekonomicznego społeczeństwa jest równie możliwe, jak nienadążanie świadomości społecznej za przemianami bytu społecznego w ogóle. Matematyka może także wyprzedzać poziom rozwoju produkcji (prace Archimedesa, zawierające pierwowzór elementów rachunku całkowego, geometria Łobaczewskiego itp.).

4. Nie każda koncepcja i nie wszelka zmiana zachodząca w matematyce wiąże się bezpośrednio z rozwojem produkcji. Pojawienie się wielu koncepcji i teorii matematycznych wywołane jest wewnętrznymi potrzebami matematyki potrzebą uporządkowania i usystematyzowania materiału jej rozmaitych dziedzin, powiązania poszczególnych dyscyplin matematycznych przy czym obecnie matematycy interesują się nie tylko aksjomatyzacją poszczególnych dziedzin matematyki, lecz także rozwijaniem ogólnej teorii modeli formalnych systemów aksjomatycznych.

5. Pewne zmiany, jakie dokonały się w matematyce (podobnie jak i w nauce w ogóle), były uwarunkowane wpływem innych form świadomości społecznej (polityki, prawa, religii, filozofii, a nawet sztuki i moralności).

6. Na rozwoju matematyki i charakterze teorii matematycznych pozostawiły ślad rysy charakterystyczne osobowości ich twórców (ich światopogląd, zdolności, erudycja itp).

Rozważając zagadnienie swoistości matematyki nie sposób pominąć roli, jaką odgrywa w niej symbolika specyficzny język znaków i wzorów.

Wielki postęp w rozwoju matematyki zawsze się wiązał z jej szczególną zdolnością do wznoszenia się coraz wyżej po szczeblach abstrakcji. Jednocześnie procesowi abstrahowania zawsze towarzyszyło kształtowanie się nowej, bardziej trafnej symboliki. Matematyka na przestrzeni swego wielowiekowego rozwoju tworzyła, uściślała, rozwijała systemy znaków – systemy skomplikowane, powołane do spełniania ściśle określonych celów. Za pomocą tych systemów można było uzyskiwać informację o zjawiskach, oceniać je, porządkować fakty i dotyczące ich pojęcia. Będąc swoistym sposobem oznaczania i utrwalania pojęć i sądów powstających w procesie rozwoju nauki, sprzyjając wyjaśnianiu struktury wnioskowania i dowodów, symbolika matematyczna staje się potężnym i precyzyjnym narzędziem modelowania stosunków ilościowych (i innych, im podobnych), oraz form przestrzennych (i innych, im podobnych).

Już w zaraniu rozwoju umiejętności matematycznych człowiek czynił próby oznaczania liczb specjalnymi symbolami, które szeregował w taki sposób, by operacje arytmetyczne można było przeprowadzać wprost na tych symbolach, posługując się swoistymi regułami. Musiało wszelako upłynąć wiele wieków, zanim stworzono język, który pozwalał prosto, łatwo i szybko dokonywać rozmaitych operacji arytmetycznych. Takim językiem stał się np. stosowany od wielu stuleci pozycyjny system pisania liczb.

Ogromne zalety symboliki matematycznej od razu rzucają się w oczy, gdy tylko zaczynamy łączyć z sobą rozmaite operacje arytmetyczne.

Napiszmy: (a-b)³ = a³-b³-3ab(a – b).

Tożsamość tę można oczywiście wyrazić w zwykłym języku: sześcian różnicy dwóch liczb równa się różnicy sześcianów tych liczb minus potrojony iloczyn tych liczb mnożony przez ich różnicę. Bez trudu jednak stwierdzimy, iż to słowne sformułowanie tożsamości jest o wiele mniej zrozumiałe od jej ujęcia w postaci wzoru, w którym zastosowaliśmy przyjętą w algebrze symbolikę.

Potrzeba takiego zapisu symbolicznego wyłoniła się dawno. Już starożytni Babilończycy i Grecy wyprowadzili – oczywiście początkowo w sposób empiryczny – prawa analogiczne do tego, które wyraża przytoczony wyżej wzór. Przy przystąpieniu zaś do rozwiązywania równań owa potrzeba stała się palącą koniecznością.

Rozpatrzymy dwa zadania:

1. Znaleźć bok prostokąta, jeśli drugi jego bok równa się 2, pole zaś 6.

2. Znaleźć prostokąt, którego różnica boków wynosi 2, pole zaś 8.

Jeśli pierwsze zadanie sprowadza się do rozwiązania równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą: ax = b (można je bez szczególnych trudności sformułować w zwykłym języku), to rozwiązując drugie zadanie, trzeba już ułożyć równanie drugiego stopnia: x(x+2) = 8 (gdzie x – mniejszy bok prostokąta); przy próbach wyrażenia sposobu jego rozwiązania w codziennym języku napotykamy już pewne trudności.

Przy rozwiązywaniu natomiast drugiego zadania sposobem algebraicznym przeprowadzamy szereg operacji na nieznanych wielkościach, tak jak gdybyśmy mieli do czynienia z wielkościami już znanymi. Tak więc, dodając do prawej i lewej strony równania 1, otrzymujemy x(x+2)+1 = 8+1, czyli (x+1)² = 9; stąd x+1=3 i x=2.

Tego rodzaju metoda wymaga już wysokiego poziomu myślenia abstrakcyjnego. Liczne i wielorakie przykłady stosowania tej metody spotykamy po raz pierwszy u Diofantesa (III w. p.n.e), który też jako pierwszy wprowadził symbol oznaczający niewiadomą. Łatwo pojąć, jakie trudności musiał napotkać Diofantes przy próbie ujęcia w języku codziennym operacji, które stosował przy rozwiązywaniu równań. Oto jak wyglądałby słowny opis – za pomocą codziennego języka – wszystkich operacji, jakie wykonujemy przy rozwiązywaniu powyższego zadania: jeśli dodamy jednostkę do pola prostokąta, otrzymamy pole kwadratu, którego bok będzie mniejszym bokiem prostokąta powiększonym o 1; pole kwadratu wynosi 9, bok kwadratu 3, mniejszy zaś bok prostokąta równy będzie 2. W przypadku tego zadania udaje się jeszcze znaleźć geometryczną interpretację (dodać należy, iż Diofantes nie posługiwał się tego rodzaju interpretacjami). W zadaniach jednak czysto algebraicznych, zwłaszcza kiedy mamy do czynienia z kilkoma niewiadomymi, słowny opis wszystkich wykonywanych czynności tak dalece zaciemnia obraz, że rozwiązanie tych zadań staje się niemal niemożliwe.

Aby uprościć rozwiązywanie tego rodzaju zadań, w średniowieczu wprowadzono symbole do oznaczenia kilku niewiadomych oraz ich potęg o niewielkich wykładnikach, a także symbole dodawania, odejmowania i pierwiastkowania (odpowiednio: p, m, R)⁶; w połowie XVI wieku pojawił się, w końcu zaś XVII wieku znalazł powszechne zastosowanie znak równości (=)⁷, Po uświadomieniu sobie faktu, iż sposób rozwiązywania równań nie zależy od wartości współczynników liczbowych, lecz jedynie od stopnia równania, w XVI wieku francuski matematyk F. Viète zaczyna oznaczać literami nie tylko niewiadome, ale również współczynniki w równaniach.

Późniejsze wprowadzenie literowych oznaczeń stopnia samego równania i litery ze wskaźnikiem (a_k) jako współczynnika przy x^k umożliwiło analizowanie problemu rozwiązywalności równania algebraicznego a_kx^k+a_k-1x^k-1+ … + a₁x+a₀=0 w ogólnej postaci, wolnej od wszelkich przypadkowości.

Rozstrzygnięcie problemu przyrodniczego za pomocą metod matematycznych wiąże się zawsze ze sformalizowaniem tego problemu, tj. przełożeniem jego konkretnej treści na język liczb i wzorów. Zdarzało się, iż w procesie dokonywania operacji logicznych na owych liczbach i wzorach natrafiano na takie wyrażenie matematyczne, którego nie sposób było wyjaśnić poprzez odpowiednią interpretację, a wówczas wyrażenie to na gruncie języka formalnego, którym się posługiwano, okazywało się „pozbawione sensu”. Problem zaś, przy rozwiązywaniu którego natrafiano na wyrażenia „pozbawione sensu”, nazywano „nierozwiązalnym”. Potrzeby rozwoju nauki i techniki zmuszały stopniowo do nadawania sensu owym wyrażeniom, do opracowywania odpowiednich pojęć i interpretacji, do wprowadzania nowej symboliki.

Zetknąwszy się przy rozwiązywaniu równań pierwszego stopnia z liczbami ujemnymi (V-VIII w. n.e.), matematycy hinduscy zaczęli początkowo mówić o „nierozwiązalnych” zadaniach. Już jednakże w VII w. n.e. Brahmagupta, rozwiązując problem sumy pieniędzy przypadającej pewnej osobie, wynik ujemny zinterpretował jako dług owej osoby. Taką samą interpretację liczby ujemnej spotykamy u matematyków średniowiecza i Odrodzenia. Liczbami ujemnymi zaczęto następnie oznaczać prędkość ruchu wstecznego, poziom niższy od poziomu morza, temperaturę (,,chłód”), ładunek elektryczności itd. Nad prawomocnością wprowadzenia liczb ujemnych długo jeszcze dyskutowało wielu matematyków, pierwiastki ujemne otrzymywane przy rozwiązywaniu równań uznawane były zwykle za fikcyjne, absurdalne. F. Viète nie chciał nawet słyszeć o liczbach ujemnych, a R. Descartes nazywał je ,,fałszywymi”. Mimo to z biegiem czasu pojęcie liczby ujemnej weszło na stałe do matematyki, okazało się bowiem bardzo wygodne i wręcz niezastąpione przy opisywaniu (modelowaniu) za pomocą środków matematycznych stosunków ilościowych i przestrzennych, właściwych przedmiotom i zjawiskom realnego świata.

Kolejne, daleko idące rozszerzenie pojęcia liczby wiąże się z powstaniem pojęcia liczby urojonej. Już przy rozwiązywaniu równań kwadratowych często pojawiają się jako pierwiastki równania wyrażenia, które wymagają pierwiastkowania liczb ujemnych. Tak np. równanie 2x²+x+3 = 0 ma następujące pierwiastki:

W odróżnieniu od liczb rzeczywistych (wymiernych i niewymiernych), dla każdej z których można wskazać z dowolną dokładnością punkt na osi liczbowej, liczby urojone, tj. liczby, w których występuje pierwiastek z liczby -1, nie mają odpowiednika w takich punktach.

Dopóki liczby urojone pojawiały się jako pierwiastki równania kwadratowego, nie uznawano ich za liczby, nie brano w rachubę i odrzucano je, albowiem nie odpowiadało im nic, co znamy z doświadczenia – ani części wyodrębnionych przedmiotów, ani kierunek ruchu, ani odcinki prostej. Aby w takiej sytuacji mogły one uzyskać prawo nazywania się liczbami, musiały spełniać przynajmniej rolę członów pośrednich w operacjach matematycznych, których początkowe i końcowe wyniki miałyby charakter rzeczywisty⁸.

W XVI wieku odkryto wzór (nazwany wzorem Cardana) służący do obliczania pierwiastków równania sześciennego o postaci x³ = ax + b :

Jeśli wyrażenie

to równanie sześcienne ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Jeśli jednak

to za pomocą wzoru Cardana – jak pierwszy rzut oka nie można otrzymać pierwiastka rzeczywistego. W takim przypadku powiadało się zazwyczaj, że wzór Cardana „nie ma sensu”, a równanie jest „nierozwiązalne”.

Już jednak sam G. Cardano i jego uczniowie zauważyli, że nawet w tym przypadku równanie może mieć pierwiastki rzeczywiste. Np. równanie x³ = 15x + 4 analizowane przez R. Bombellego (koniec XVI wieku) ma pierwiastek x = 4 , aczkolwiek

Co równa się -121 < 0. Jeśli się przyjmie, jak uczynił to R. Bombelli w swojej Algebrze, iż do pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych można stosować wszystkie zwykłe reguły działań algebraicznych, które stosuje się do liczb rzeczywistych, wówczas otrzymamy:

Możemy zatem napisać:

Stąd wynika, że

Tak zatem liczba urojona wykorzystana jako ogniwo pośrednie pozwoliła znaleźć pierwiastek rzeczywisty.

Z biegiem czasu matematycy coraz częściej stosowali liczby urojone przy rozwiązywaniu równań. Dopiero jednak na początku XIX wieku liczby te stały się ostatecznie pełnoprawnymi liczbami. Została wtedy stworzona teoria liczb zespolonych, tj. liczb o postaci przy czym zaczęto oznaczać specjalnym symbolem – literą i.

K. Wessel (1799), J. R. Argand (1806) i K. F. Gauss (1831) podali geometryczną interpretację liczb zespolonych, wedle której liczbie a + bi odpowiada punkt (a, b) na płaszczyźnie o współrzędnych prostokątnych. Interpretacja ta sprawiła, iż jeszcze bardziej powszechnie zaczęto stosować liczby zespolone. Stworzono np. „algebrę par”. Ponieważ liczba zespolona a+bi pozostaje w związku z parą (a, b) zwykłych liczb, powstało pytanie, czy zachodzi odpowiedniość między operacjami algebraicznymi (np. dodawaniem i mnożeniem) przeprowadzanymi na zwykłych liczbach a i a’ i parach liczb (a, b) i (a’, b’) przyporządkowanych liczbom zespolonym.

Wykonamy teraz działanie dodawania i mnożenia na dwóch liczbach zespolonych a+bi i a’+b’i, traktując przy tym i równa się pierwiastek z liczby -1 jako zwykłą liczbę, której kwadrat wynosi -1:

Równania te będziemy traktować jako określające dodawanie i mnożenie na parach (a, b) zwykłych liczb. Wówczas reguły tych działań przybiorą postać:

Jeśli przyjmiemy, że b = b’ = 0, to reguły te znacznie się uproszczą:

Algebra zwykłych liczb występuje tedy jako przypadek szczególny „algebry par”, ta ostatnia zaś – jako przypadek szczególny algebry liczb zespolonych.

Formalne ujęcie teorii liczb zespolonych rozwinął również W. R. Hamilton (lata 1833-1835), który liczby zespolone potraktował jako przypadek szczególny kwaternionów – „sztucznego” systemu liczbowego z kilkoma jednostkami. System Hamiltona zawiera cztery jednostki (1, i, j, k), które podlegają następującym regułom mnożenia:

i² = j² = k² = -1; ij = -ji = k; jk = -kj = i; ki = -ik = j.

Teoria Hamiltona zapoczątkowała, jak wiadomo, algebrę wektorową, odgrywającą tak wielką rolę we współczesnej nauce i technice.

Teorie w rodzaju teorii Hamiltona wyznaczają – dla niektórych typów obiektów – działania, które nie były dane w sposób „naturalny”. Matematycy coraz bardziej entuzjazmują się możliwością tworzenia nowych ,,sztucznych” rachunków dotyczących nowych obiektów. Rachunki zaś, które powstawały dotychczas na podłożu konkretnej treści matematyki, traktują oni teraz jedynie jako przypadki szczególne tych nowo powstałych (uogólnionych) rachunków.

Charakterystyczna pod tym względem jest ogólna teoria grup. Z punktu widzenia tej teorii obojętna jest zarówno natura elementów zbioru, które mogą być liczbami, systemami liczb, przekształceniami, ruchami itp., jak i natura działań, które mogą występować w postaci dodawania, mnożenia, polegać na zamianie dwóch kolejnych działań przez jedno itd. Za istotne uważa się tu własności samego działania (np. symetryczność, przemienność itd.) i te własności systemu elementów, które można wyrazić poprzez własności owego działania.

Współczesna matematyka opracowała wyjątkowo skomplikowaną, ścisłą i elastyczną symbolikę pozwalającą dowolnie długo kontynuować proces tworzenia coraz bardziej oderwanych abstrakcji. I mamy tu do czynienia z pewnego rodzaju dialektyką – tworzenie nowych pojęć abstrakcyjnych i dokonywanie na nich nowych operacji wymaga nowych symboli, stworzenie zaś nowych symboli umożliwia konstruowanie jeszcze bardziej ogólnych pojęć i doskonalenie przeprowadzanych na nich operacji.

Skrajnie abstrakcyjny charakter pojęć matematycznych, wyjątkowa rola dowodów logicznych w matematyce, nadających jej twierdzeniom charakter powszechny i konieczny, duża autonomia matematyki wobec materialnej rzeczywistości i praktyki, wielka rola symboliki w jej rozwoju – wszystkie te rysy charakterystyczne matematyki jako nauki odciskają swoje piętno na przebiegu walki, jaka toczy się w matematyce między materializmem i idealizmem od czasu jej powstania.

CDN.

---

1 P. K. Raszewski, „Matiematiczeskoje proswieszczenije”, 1960, nr 5, s. 74 75.

2 W. Lenin, Zeszyty filozoficzne, Warszawa 1956, s. 144-145.

3 R. Courant, H. Robbins, Co to jest matematyka, Warszawa 1959, s. 40.

4 H. Poincaré, Nauka i metoda, Warszawa 1911, s. 22.

5 P. S. Nowikow, Elemienty matiematiczeskoj łogiki, Moskwa 1959, s. 13.

6 Pierwsze litery łacińskich słów plus (więcej), minus (mniej), radix (korzeń, początek, podstawa). Nie mówiąc już o terminach „plus” i „minus”, które morfologicznie i znaczeniowo nie zmienione weszły na trwałe do niemal wszystkich języków europejskich, termin laciński radix swoiście dla każdego języka przełożony zarówno w jego bliższym znaczeniu (np. ros. korień; niem. Wurzel, a także Radix; ang. root, a także radical sign; franc. racine), jak i dalszym (np. polski „pierwiastek”) – przyjął się w matematyce jako oznaczenie pierwiastka.

Symbole + i – pojawiły się po raz pierwszy w traktacie niemieckiego matematyka czeskiego pochodzenia Jana Widmanna Behende und hübsche Rechnung auf allen Kaufmannschaft (Leipzig 1489). Pochodzenie tych symboli nie jest do końca wyjaśnione. Niektórzy autorzy wywodzą je od podobnych znaków umieszczanych na pakach z towarem – miały sygnalizować odpowiednio ciężar większy lub mniejszy od uzgodnionego przez kupców. Byłby to więc jeszcze jeden dowód na korzyść koncepcji ściśle łączącej rozwój symboliki matematycznej i samej matematyki z praktyką społeczną.

Pierwowzór znaku pierwiastka, który dość szybko wyparł jego literowe oznaczenie (R), zastosowali około roku 1480 staroniemieccy algebraicy, zwani „kossistami” – uprawiający sztukę Coß, czyli algebrę (od niem. Coß, sięgającego przez włos. cosa – rzecz, niewiadoma w równaniu – do arabskiej terminologii matematycznej). Była to kropka przed liczbą pierwiastkowaną (pierwiastek 4-tego stopnia oznaczany był dwiema kropkami itd.). W XV i XVI wieku znak ten był powszechnie używany przez Włochów i Francuzów. Czech, Krišt’an Rudolf z Jawora (ur. ok. 1500, zm, ok. 1545) do kropki dodał kreskę (w dziele Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen Regeln Algebre, so gemeincklich die Coß gennent werden, Strassburg 1525) i powstał w ten sposób znak √. Poziomą kreskę u góry znaku, obejmującą wyrażenie podpierwiastkowe wprowadził René Descartes (1596-1650), który po raz pierwszy w 1629 roku nakreślił współcześnie używany znak pierwiastka. Przyp. tłum.

7 Znak równości wprowadził w 1556 roku angielski matematyk Robert Recorde (1510-1558), ponoć w przekonaniu, iż nie istnieje nic bardziej sobie równego niż dwa odcinki równoległe tej samej długości. Znak Recorde’a (nieco dłuższy od współcześnie używanego) rychło rozpowszechnił się w Anglii, znacznie później zaś na kontynencie, propagowany głównie przez G. W. Leibniza (1646-1716).

Interesujące jest to , iż znak mnożenia w postaci x zawdzięczamy Anglikowi W. Oughtredowi (1574-1660). W postaci kropki zaś pojawił się początkowo w 1631 r. w pośmiertnie wydanej pracy T. Harriota (1560-1621), a następnie w liście (z 1693 r.) Leibniza do G. F. de l’Hospitala. Rozpowszechnił się dzięki wielokrotnie wydawanemu 4-tomowemu dziełu Ch. F. von Wolffa (1679-1754). Anfangsgründe aller mathematischen Wissenschaften (1710). Tam również występuje znak dzielenia w postaci dwukropka. Przyp. tłum.

8 Jak wiemy obecnie, każde równanie sześcienne ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Przyp. red. wyd. polskiego.

---