NOTA: poniższy artykuł pochodzi z książki pt. „Filozofia nauk przyrodniczych” autorstwa L. Bażenowa, K. Morozowa i M. Słuckiego (Książka i wiedza, 1968). Autorem niniejszego rozdziału zamieszczonego w książce pod tym samym tytułem jest Morozow.
D) Walka między materializmem i idealizmem w matematyce
Walka między materializmem i idealizmem w matematyce rozpoczęła się w momencie powstania matematyki i nie wygasła jeszcze w naszych czasach. Nie było chyba w historii matematyki ani jednego wielkiego uczonego, który nie poruszałby w swych pracach problemów filozoficznych tej dyscypliny naukowej.
Wszystkie nauki, m.in. również matematyka, odzwierciedlają za pomocą własnych swoistych środków te lub inne aspekty i powiązania świata materialnego; budują uogólniające teorie, które odkrywają przyczyny i istotę zjawisk, umożliwiają poznanie praw obiektywnego świata i tym samym przewidywanie przyszłego biegu zdarzeń. W toku swej pracy uczeni są zmuszeni operować nader ogólnymi pojęciami, abstrakcjami, kategoriami logicznymi i filozoficznymi, na których wspierają się ich rozważania. Nie jest do pomyślenia, by matematyk mógł się obejść bez takich pojęć filozoficznych, jak np. „abstrakcja”, „uogólnienie”, „idealizacja”, „to, co nieskończone”, i „to, co skończone”, „ilość”, „jakość”, „obiekt”, „własność”, „stosunek”, „podobieństwo”, „różnica”, „forma”, „treść”, „ruch”, „sprzeczność”, „to, co aktualne”, i „to co potencjalne”, „doświadczenie”, „indukcja”, „dedukcja” i wiele innych.
Wśród uczonych Zachodu szeroko rozpowszechniony jest jednakże pogląd, podtrzymywany m.in. przez filozofię pozytywistyczną, iż matematyka jest niezależna od filozofii, że poglądy filozoficzne uczonego nie mają wpływu na kierunek rozwoju i treść koncepcji naukowych. Nie mówiąc już o tym, że tego rodzaju stanowisko nie znajduje potwierdzenia w historii nauki, uczeni, którzy je podzielają, często wikłają się w nieprzyjemne dla nich sytuacje. Nadal pozostaje w pełni aktualna uwaga Engelsa, iż uczeni lekceważący filozofię popadają we władzę filozofii,,najgorszego gatunku”, stają się niewolnikami „najgorszych, zwulgaryzowanych szczątków najgorszych filozofii”.
Po upływie stu lat ten sam w istocie pogląd wyraża N. Bourbaki:
„Zauważmy przede wszystkim, iż matematyków o gruntownej kulturze filozoficznej spotyka się równie rzadko, jak filozofów o rozległej wiedzy matematycznej. Stanowisko matematyków w kwestiach filozoficznych, nawet jeśli kwestie te mają istotne znaczenie w ich nauce, w większości przypadków opiera się na poglądach przejętych z drugich czy trzecich rąk bądź zaczerpniętych ze źródeł o wątpliwej wartości.”1
Wśród współczesnych matematyków Zachodu niemało jest również takich, którzy, odżegnując się od materializmu metafizycznego i nie znając bądź nie chcąc znać materializmu dialektycznego, ześlizgują się na pozycje idealizmu. Tymczasem walka materializmu z idealizmem, przenikająca całą historię matematyki, zobowiązuje każdego matematyka do poważnego ustosunkowania się do filozofii, by móc zająć właściwą postawę naukową, która stanowi warunek owocnego rozwoju matematyki.
W toku swej pracy, zwłaszcza w okresach, kiedy przed nauką staje zadanie uogólnienia nagromadzonych faktów, matematyk, podobnie jak każdy inny uczony, nie może nie oddać się refleksji nad zagadnieniami metodologicznymi i filozoficznymi, bez których rozwiązania nie można dokonać wyboru właściwego kierunku badań naukowych, określić własnego stosunku do wielu konkretnych zagadnień naukowych. Podstawowym zagadnieniem filozofii jest, jak wiadomo, zagadnienie stosunku myślenia do bytu. Podstawowym zagadnieniem filozoficznym matematyki jest z kolei zagadnienie stosunku pojęć matematycznych, aksjomatów, teorii, reguł i praw wnioskowania do realnego świata. Rozwiązanie tego zagadnienia wywiera wpływ na sposób rozwiązania innych zagadnień filozoficznych powstających w procesie rozwoju matematyki i określa stanowisko filozoficzne uczonego, decyduje o tym, czy znajdzie się on w obozie materializmu, czy idealizmu.
Materialistyczne i idealistyczne poglądy na wyjściowe zasady matematyki i na abstrakcje, którymi ona operuje, zostały sformułowane już w świecie antycznym. Starożytny grecki matematyk i filozof-idealista Pitagoras (ok. 580-500 roku p.n.e), odrywając ilościowy aspekt realnego świata od aspektu jakościowego, doszedł do wniosku, iż Wszechświat jest harmonijnym układem liczb i ich stosunków. Pojęcie liczby, będące odzwierciedleniem stosunków ilościowych między rzeczami, pitagorejczycy hipostazując przeobrazili w samodzielny idealny byt, od którego miały zależeć przedmioty realnego świata.
Główny przedstawiciel idealizmu obiektywnego w starożytności Platon (427-347 r. p.n.e.) uznał świat rzeczy naturalnych wraz z ich własnościami za przejaw zaświatowej, wiecznej i niezmiennej dziedziny bytów duchowych – idei. Utrzymywał np., iż poznanie stosunków geometrycznych osiąga się dzięki temu, że w naszej duszy budzi się wspomnienie tego, co widziała ona w świecie idei. Idealizm obiektywny odrywa zatem pojęcia matematyczne – powstałe w umyśle człowieka w wyniku dokonanych przezeń operacji abstrahowania – od przedmiotów materialnych, uznaje owe pojęcia za pierwotne, obdarza je samodzielnym bytowaniem.
W walce z takimi poglądami na naturę abstrakcji matematycznych ukształtowały się w starożytnej greckiej filozofii koncepcje materialistyczne. Arystoteles (384-322 roku p.n.e.) krytykując Platona podkreślał, iż nie istnieje żadne, „królestwo idei”, oderwane od jednostkowych rzeczy. To, co ogólne (,,idea”, ,,istota”), tkwi w samych rzeczach i w procesie poznania zostaje z nich wyłonione przez człowieka za pomocą abstrakcji. Wprawdzie Arystotelesowi nie udało się rozstrzygnąć zagadnienia, czym jest „to, co ogólne”, w jaki sposób w umyśle naszym powstają pojęcia ogólne. Niemniej jednak pogląd Arystotelesa na sposób tworzenia pojęć ogólnych, m.in. abstrakcji matematycznych, był w istocie słuszny.
Wedle Arystotelesa rozum „myśląc o przedmiotach matematycznych ujmuje je w abstrakcji, chociaż nie da się ich oddzielić od ciał”2. Matematyk przy tym „prowadzi te rozważania całkowicie usunąwszy wszystkie własności zmysłowe, na przykład ciężkość i lekkość, twardość i jej przeciwieństwo, następnie ciepło i chłód i wszystkie pozostałe zmysłowe przeciwieństwa, zachowuje zaś tylko ilościową określoność i ciągłość …”3
Jeśli ilościowa określoność i ciągłość zostaje zachowana w jednym kierunku, otrzymujemy prostą, jeśli w dwu kierunkach – płaszczyznę, jeśli w trzech ciało geometryczne. Geometria bada również położenia, w których ciała „znajdują się jedno obok drugiego, i to, co łączy się z tymi położeniami”, „współmierność i niewspółmierność” ciał, „ich stosunek wzajemny”4.
Już zatem w czasach Arystotelesa ukształtowała się definicja matematyki jako nauki o stosunkach ilościowych i formach przestrzennych realnego świata.
Walka poglądów dotyczących natury abstrakcji matematycznych nie ustała w średniowieczu; pozostawała ona wówczas w ścisłym związku z bardziej rozległym problemem natury uniwersaliów (pojęć ogólnych). Filozofowie zwani realistami, którzy tkwili w nurcie platońskim, uważali, iż uniwersalia (wśród nich także pojęcia matematyczne) istnieją realnie i niezależnie od człowieka przed jednostkowymi rzeczami materialnymi, poza nimi i po nich. Realiści reprezentują typowy punkt widzenia idealizmu obiektywnego, bardzo bliski religii.
Nominaliści, prowadząc zacięty spór z realistami, słusznie utrzymywali, iż uniwersalia nie istnieją realnie, że w stosunku do rzeczy mają charakter wtórny.
Błędnie traktowali je jednak jako terminy ogólne, symbole, wprowadzane przez człowieka w celu oznaczenia klas przedmiotów podobnych. Takie stanowisko, utożsamiające pojęcie z przyporządkowanym mu znakiem, stawało się zarazem przeszkodą we właściwym zinterpretowaniu abstrakcji matematycznych jako odzwierciedlenia realnych stosunków między rzeczami.
O braku podstaw do tego rodzaju utożsamiania świadczy chociażby następujący przykład – liczba 2. Czym ona jest – znakiem czy pojęciem? Rzecz jasna, iż nie sposób utożsamić liczby 2 ze znakiem – tę samą liczbę można oznaczyć również cyfrą II (bądź słowem ,,dwa”). Wynika z tego, że liczba 2 nie pozostaje w żadnej zależności od sposobu jej wyrażenia.
Rozwój przyrodoznawstwa i matematyki – począwszy od XVII wieku – wzmagał zainteresowanie metodami poznania naukowego, naturą pojęć matematycznych i aksjomatów, strukturą logiczną dowodu. Racjonaliści (R. Descartes, G. W. Leibniz, B. Spinoza) uważali, iż powszechny i konieczny charakter wiedzy ludzkiej (m.in. także twierdzeń matematyki) nie da się uzasadnić ani postrzeganiem zmysłowym i związaną z nim indukcją, ani dowodem logicznym. Powszechny i konieczny charakter twierdzeń matematyki gwarantuje jedynie intuicja intelektualna, która leży u podstaw dowodu i dzięki której rozum jednocześnie i myśli, i postrzega. Należy podkreślić, iż „intuicja intelektualna” – taka, jaką mieli na myśli racjonaliści – nie istnieje. „Wynalezienie” tego pojęcia było konsekwencją trudności napotykanych przy próbach rozwiązania problemu przechodzenia od jednostkowych faktów do powszechnych i koniecznych twierdzeń nauki (praw
aksjomatów itp). Naukę o intuicji intelektualnej łączył Spinoza z materialistyczną (nie całkiem jednak jasną) tezą, iż „porządek i związek idei jest taki sam, jak porządek i związek rzeczy”. Nauka ta w pracach Descartesa i Leibniza wyraźnie skłaniała się ku idealizmowi. Leibniz np. pisał:
„Zmysły i wnioskowanie indukcyjne nie mogą nam dostarczyć w pełni powszechnych i absolutnie koniecznych prawd, mówią zaś jedynie o tym, co jest i co zwykle bywa w przypadkach szczególnych; niemniej jednak znamy powszechne i konieczne prawdy nauk, na czym właśnie polega owa wyższość, jaką mamy nad zwierzętami. Z powyższego wynika, iż prawdy te zaczerpnęliśmy w pewnej mierze z tego, co znajduje się w nas samych.”5
Widzimy więc, iż Leibniz źródło powszechnych i koniecznych prawd matematyki dostrzegał w samym rozumie ludzkim.
Sposób ujmowania natury matematyki przez racjonalistów sprowadzał się do tego, że pojęcia matematyczne uznawali oni za wrodzone człowiekowi, że źródłem prawdziwej wiedzy był dla nich sam rozum, w którym od początku, jak sądzili, istniały podstawy wiedzy aksjomaty, prawa logiki itd. Zadanie rozumu miało polegać wyłącznie na tym, że miał on odnaleźć owe podstawy, przeobrazić je w jasne myśli, z nich zaś w drodze wnioskowania logicznego rozwinąć cały system wiedzy. Pogląd taki ukształtował się głównie pod wpływem olbrzymich sukcesów matematyki tamtych czasów, sukcesów przypisywanych wyłącznie rozumowi.
Zagadnienia natury abstrakcji matematycznych nie potrafili rozwiązać we właściwy sposób również empirycy (F. Bacon, J. Locke, D. Hume i in.), którzy uważali, że zarówno idee matematyczne, jak i wszystkie pozostałe idee uzyskujemy za pomocą naszych narządów zmysłowych, umysł zaś stanowi jak gdyby tabula rasa (czystą tablicą), na której doświadczenie i obserwacja nieustannie zapisują wszelkie nowe wiadomości, formowane następnie w uporządkowany system wiedzy. Ogólna wada tej koncepcji polega na tym, że poznanie traktowane jest tu jako proces bierny, jako szereg aktów kontemplacji. Empirycy nie uwzględniali roli praktyki i przekształcającej działalności umysłu człowieka w procesie powstawania idei. Toteż nie potrafili oni wyjaśnić, w jaki sposób z doświadczenia – w wyniku abstrahujących czynności umysłu – uzyskuje się powszechne i konieczne prawdy, np. aksjomaty matematyki.
Złożoność owej problematyki doprowadziła do tego, że materialistycznie myślący filozofowie popełniali niekonsekwencje i występowali z poglądami pokrewnymi poglądom swoich przeciwników. Np. angielski filozof XVII w. T. Hobbes uznawał powszechny i konieczny charakter wyjściowych twierdzeń matematyki, a zarazem utrzymywał, że doświadczenie i intuicja nie są środkami ich uzasadniania, lecz że uzasadnienie znajdują one w fakcie, iż słowa języka stały się znakami pojęć ogólnych. Matematyka – w jego przekonaniu – ma charakter aprioryczny, tj. nie zależy od doświadczenia, nie dlatego jednak, że u jej podstaw tkwią aprioryczne intuicje, lecz dlatego, że w sposób dedukcyjny wyprowadza wszystkie swoje twierdzenia z konstrukcji apriorycznych. Słowa języka i – w jeszcze większym stopniu – symbolika matematyczna odgrywają, oczywiście, ważną rolę w nauce, m.in. w matematyce, nie oznacza to wszelako, iż doświadczenie nie może być traktowane jako środek uzasadniania wyjściowych twierdzeń matematyki. Prawdą jest, że w matematyce wszystkie twierdzenia są wyprowadzane w sposób dedukcyjny z określonych konstrukcji; nieprawdą jest jednak, iż owe konstrukcje i w ogóle matematyka jako całość są z gruntu aprioryczne.
Inny angielski filozof, John Locke, utrzymywał, iż wszystkie idee powstają z doświadczenia; żadne idee wrodzone nie istnieją. Prawdę wszakże jako zgodność między ideami6 – umysł w zasadzie może ogarnąć od razu, bezpośrednio, w sposób intuicyjny. W bardziej złożonych przypadkach dusza nasza stara się odkryć ową zgodność (bądź niezgodność) za pomocą innych idei. Takie poznanie, nazwane przez Locke’a po- znaniem demonstratywnym, jest całkowicie pewne, im więcej jednak ogniw pośredniczących zawiera dowód, tym mniej oczywisty okazuje się wniosek. Każdy etap poznania demonstratywnego powinna cechować intuicyjna oczywistość. Poznanie to nie może przeto istnieć bez intuicji.
Na wielu matematyków usiłujących rozwiązać zagadnienie natury wiedzy matematycznej, zdać sobie sprawę z natury źródeł, z których czerpią swe uzasadnienie teorie rozwijane w sposób aksjomatyczny, skrajnie negatywny wpływ wywarł aprioryzm I. Kanta (1724-1804). Krytykując błędny pogląd racjonalistów dotyczący istnienia intuicji intelektualnej, Kant wyprowadzał zarazem wszystkie pojęcia matematyczne i całą matematykę z „czystego” rozumu, nie mającego zgoła żadnych powiązań z obiektywnym światem. Podstawę matematyki, wedle Kanta „musi stanowić jakaś czysta naoczność, w której może ona wszystkie swe pojęcia przedstawiać in concreto, a jednak a priori, czyli, jak się mówi, może je konstruować.”7
Do matematyków ulegających wpływom kantowskiego aprioryzmu należeli np. tacy wybitni uczeni, jak H. Helmholtz i G. Cantor. W swych pracach przyrodniczych, stojąc na stanowisku żywiołowego materializmu, H. Helmholtz nadawał wyjątkowe znaczenie faktom, doświadczeniu. Stwierdzał, iż wszystkie podstawowe twierdzenia geometrii mają pochodzenie doświadczalne, że tylko doświadczenie może rozstrzygnąć zagadnienie formy przestrzeni fizycznej. Zarazem jednak, nie mogąc uwolnić się od kantyzmu, oświadczał, że aksjomaty geometrii należy wraz z Kantem traktować jako „transcendentalnie dane formy intuicji”, tj. jako sądy aprioryczne pojawiające się w umyśle niezależnie od obiektywnego świata.
Wielki rosyjski demokrata i filozof-materialista, N. G. Czernyszewski, poddając krytyce poglądy Helmholtza, pisał:
„Mój drogi, ani matematykowi, ani w ogóle przyrodnikowi nie wolno w żadnej kwestii podzielać kantowskiego punktu widzenia. Kant przeczy całemu przyrodoznawstwu, przeczy również realności czystej matematyki. Drogi mój, Kant gardzi wszystkim, czym się zajmujesz, i tobą. Kant nie jest dla ciebie towarzyszem. Zanim się zorientowałeś, złapał cię w potrzask.”8
Pod silnym wpływem Kanta pozostawał również wybitny niemiecki matematyk D. Hilbert. Pracując nad zagadnieniami podstaw matematyki i usiłując wszystkie jej twierdzenia wyprowadzić w sposób dedukcyjny z pewnej liczby ścisłych założeń (aksjomatów), łudził się on nadzieją odnalezienia tych podstaw w„czystym” rozumie.
„Filozofowie – a Kant jest klasycznym przedstawicielem tego poglądu – utrzymywali, że oprócz logiki i doświadczenia dana jest nam aprioryczna wiedza o rzeczywistości … Sądzę, że również poznanie matematyczne opiera się w ostatecznym wyniku na naocznym oglądzie i że przy rozwijaniu teorii liczb stają się niezbędne określone podstawy a priori.”9
Obok matematyków, którzy stali na tym samym stanowisku co Kant bądź w pewnej mierze skłaniali się ku kantyzmowi, znamy również wielu uczonych, którzy bronili poglądów materialistycznych i toczyli walkę z kantowskim aprioryzmem w matematyce. Do nich należy znany rosyjski matematyk T. F. Osipowski (1765-1832). Występując przeciwko kantowskiej nauce o przestrzeni i czasie jako apriorycznych formach zmysłowości, podkreślał on ich charakter obiektywny i uzasadniał tezę o doświadczalnym pochodzeniu pojęć matematycznych. O doświadczalnym pochodzeniu pojęć geometrii świadczy jego zdaniem fakt, że pierwsze koncepcje geometryczne rozwinęły się w Egipcie na podłożu praktyki na podłożu pomiarów pól uprawnych. Jest rzeczą interesującą, iż po pięćdziesięciu latach na ten sam fakt powoła się F. Engels.
Decydujący cios kantowskiemu aprioryzmowi zadał genialny rosyjski matematyk N. I. Łobaczewski (1792-1856). Podstawowe abstrakcje matematyczne (m.in. także podstawowe pojęcia geometrii) traktował on jako odzwierciedlenie najprostszych ogólnych stosunków i własności świata materialnego.
„Wszystkie elementy matematyki, które zamierza się wyprowadzić z samego rozumu, niezależnie od świata rzeczy – pozostaną bez wartości.”10
U podstaw matematyki powinny się znaleźć pojęcia „zaczerpnięte z przyrody”, nie zaś pojęcia dowolne.
„Ci, którzy usiłowali wprowadzić tego ostatniego rodzaju pojęcia do matematyki, nie znaleźli następców. Taki los stał się udziałem Kanta, rozwijającego podstawy foronomii.”11
Wielkim osiągnięciem Łobaczewskiego i dziełem całego jego życia było stworzenie geometrii nieeuklidesowej. Negując absolutny charakter geometrii Euklidesa, dowodząc, że nie jest ona jedyną możliwą geometrią, Łobaczewski gruntownie podważył idealistyczny pogląd Kanta, wedle którego geometria Euklidesa ma charakter absolutny dzięki wrodzonym cechom umysłu ludzkiego.
Zdaniem Łobaczewskiego zweryfikować system twierdzeń tej czy innej geometrii „mogą jedynie doświadczenia, np. obserwacje astronomiczne”. Sądził on, że wedle wszelkiego prawdopodobieństwa
„pewne siły w przyrodzie podlegają jednej, inne zaś drugiej, swojej własnej, szczególnej geometrii” 12
Owa interesująca hipoteza dotycząca możliwości istnienia w przyrodzie rozmaitych realnych przestrzeni (hipoteza zmienności przestrzeni) łączy się u Łobaczewskiego z materialistyczną koncepcją, wedle której różne geometrie rozwijane w sposób aksjomatyczny stanowią odzwierciedlenia owych rozmaitych realnych przestrzeni.
Stworzenie geometrii nieeuklidesowych przez Łobaczewskiego, Bolyaia, Riemanna i innych matematyków, konstruowanie rozmaitych systemów aksjomatycznych dla każdej dyscypliny matematycznej, opracowanie geometrii przestrzeni wielowymiarowych, teorii mnogości, teorii grup, topologii itd., powszechne zastosowanie tych abstrakcyjnych teorii w praktyce wszystko to gruntownie podważyło racjonalizm w matematyce, lecz nie wyparło go z niej całkowicie. U poszczególnych matematyków racjonalizm łączy się z intuicjonizmem, z aprioryzmem typu kantowskiego, z relatywizmem, konwencjonalizmem13 i innymi koncepcjami idealistycznymi.
Tak np. wybitny matematyk niemiecki L. Kronecker wypowiadał się całkowicie w duchu poglądów Kartezjusza, wedle których idee prawdziwe zostały przekazane rozumowi ludzkiemu przez Boga wszechmogącego.
„Bóg – pisał Kronecker – stworzył liczby naturalne, wszystko zaś pozostałe jest dziełem ludzkim.”
Twórca teorii mnogości G. Cantor utrzymywał zaś, iż ,,istota matematyki tkwi w jej swobodzie”, iż matematyk wedle swej woli konstruuje pojęcia i aksjomaty.
Również w poglądach współczesnych matematyków odnajdujemy ślady racjonalistycznej koncepcji intuicji intelektualnej. Tak np. intuicjoniści (L. Brouwer, H. Weyl, A. Heyting) pod tym względem bardzo zbliżają się do Kartezjusza. Jedna wszak z głównych zasad intuicjonizmu głosi:
„Przedmioty matematyczne są bezpośrednio poznawane przez myślącego ducha; poznanie matematyczne nie zależy zatem od doświadczenia.”14
W przekonaniu intuicjonistów jedynym źródłem wiedzy matematycznej jest „intuicja, która jasno i bezpośrednio ukazuje nam wszystkie matematyczne pojęcia i wnioski.”15
Należy podkreślić, iż do przekonania o istnieniu intuicji skłaniają się prawie wszyscy matematycy; podziela je również filozofia marksistowska. Rzecz jednak polega na tym, jakie znaczenie przypisuje się terminowi „intuicja”. Interpretowanie intuicji jako mistycznej zdolności do poznania irracjonalnego, jako wrodzonej człowiekowi formy poznania nie opartej na praktyce i wykluczającej logiczne czynności myślenia, jest sprzeczne z nauką. Intuicja – to taka forma poznania, przy której świadomość ludzka nie panuje, nie sprawuje kontroli nad logicznym tokiem myśli; można by sądzić, iż intuicyjnie wpada się na jakąś myśl bądź rozwiązuje jakiś problem w jednej chwili, aczkolwiek w rzeczywistości za tą „jedną chwilą” kryje się ogromne doświadczenie, wcześniej nagromadzona wiedza i uprzednio przemyślane problemy. Przyznać trzeba, że zagadnienie intuicji jako „skróconej” formy myślenia logicznego nie zostało jeszcze dostatecznie zbadane i oczekuje dalszych badań.
Spotkać można również takich matematyków, którzy wysoki poziom abstrakcyjności matematyki, względną niezależność jej rozwoju od praktyki i świata obiektywnego, próbują interpretować jako absolutną swobodę twórczości matematycznej, jako nie ograniczoną niczym możliwość konstruowania dowolnych obiektów matematycznych i sądów o nich. Tak np. amerykański historyk matematyki E. T. Bell, przecząc faktom, pisał:
„Począwszy od … śmiałych koncepcji Łobaczewskiego i Bolyaia można bezpośrednio prześledzić rozpowszechniony … pogląd na matematykę, wedle którego stanowi ona owoc swobodnej twórczości uczonych. W dokładnie taki sam, dowolny sposób, w jaki powieściopisarz wymyśla postacie, dialogi i sytuacje, … matematyk tworzy postulaty, na których wznosi swe systemy matematyczne.”16
Przytoczone wyżej przykłady walki filozoficznej na terenie matematyki świadczą o tym, że matematycy w istocie nigdy nie zajmowali neutralnego stanowiska w filozofii. Zajmowanie takiego stanowiska nie jest zresztą możliwe, jeśli uczony stara się zrozumieć procesy, jakie zachodzą w matematyce w miarę jej postępów, jeśli zastanawia się nad podstawowymi metodami rozwijania matematyki. Określone warunki polityczne i społeczne sprawiają jednak, że wielu wielkich matematyków nie potrafi, niestety, zająć właściwego stanowiska filozoficznego i ulega silnemu wpływowi idealizmu i religii.
Jednakże ani idealizm, ani metafizyczny materializm nie stwarza możliwości właściwego rozwiązania zagadnienia charakteru wiedzy teoretycznej i jej stosunku do rzeczywistości, zagadnienia istoty abstrakcji matematycznych i przedmiotu matematyki, zagadnienia prawdy i kryteriów prawdy w matematyce itd.
Idealizm, błędnie rozwiązując podstawowe zagadnienie filozofii, pojęcia i teorie matematyczne traktuje jako czyste wytwory świadomości nie pozostające w żadnym związku z rzeczywistością. Idealiści poświęcają wiele uwagi problemom twórczego charakteru myślenia, konstrukcyjnych zdolności umysłu i niekiedy występują z poprawnymi koncepcjami dotyczącymi dialektycznych rysów poznania. Niewłaściwie jednak pojmując naturę wiedzy ogólnej i nie dostrzegając bądź nie pragnąc dostrzegać faktu przechodzenia poznania od tego, co konkretne, do tego, co abstrakcyjne – wszystkie te zagadnienia wysuwają i rozwiązują, zajmując z gruntu fałszywe stanowisko. To też np. teza o twórczym charakterze myślenia przybiera właśnie taką hipertroficzną postać, jak to ma miejsce w przypadku pitagorejskiej mistyki liczb, w platońskiej nauce o ideach, w aprioryzmie Kanta, w konwencjonalizmie Poincarégo czy w nauce pozytywistów o „przedmiotach idealnych”, „przedmiotach abstrakcyjnych”, „konstruktach”17.
Najlepszych argumentów zwalczających idealizm w matematyce dostarcza praktyka. W. A. Stiekłow, polemizując z teorią idei wrodzonych, stawia trafne pytanie: dlaczego rozum człowieka z jego „wrodzonymi wyobrażeniami” dotyczącymi podstawowych prawd nawet w najprostszych przypadkach zadowalał się niewątpliwie fałszywymi twierdzeniami i przyjmował je za prawdę, zanim zwykłe doświadczenie nie przekonało go, że są one błędne? W ciągu dwóch tysięcy lat uznawano np., że pole trójkąta równoramiennego jest równe iloczynowi podstawy i połowy ramienia (zgodnie z regułami egipskiego uczonego Ahmesa), „wrodzona zdolność” zaś do poznawania prawdy nie zapobiegła temu błędowi. Dopiero kiedy praktyka wykazała niezgodność reguły Ahmesa z rzeczywistością, rozum ludzki przekonał się, iż był w błędzie. Prawdę ujawniło doświadczenie, nie zaś „wrodzona zdolność” rozumu do jej samorzutnego dostrzegania.
Materializm metafizyczny, nie potrafiąc wyjaśnić dialektyki powstawania i rozwoju abstrakcji, wytwory poznania ludzkiego (pojęcia, prawa nauki, aksjomaty matematyki itd.) traktował jako martwe odbicia zwierciadlane rzeczy. Nie jest on w stanie wznieść się do zrozumienia twórczej roli myślenia i wyjaśnić, w jaki sposób ludzie, abstrahując od cech drugorzędnych i nieistotnych z punktu widzenia tych czy innych potrzeb praktycznych, konstruują skrajnie abstrakcyjne pojęcia, operują nimi i za ich pomocą nie tylko (biernie) odzwierciedlają świat, lecz także „tworzą” go w swej fantazji, modelują go w swej świadomości.
Dla kogoś, kto zajmuje stanowisko metafizyczne, staje się niedostępne wyjaśnienie np. faktu jednoczesnego istnienia różnych geometrii ani zrozumienie idealnej natury pojęć geometrycznych. Dlatego też matematycy-empirycy XX wieku Manià, Dingler, Bieberbach i inni – odrzucali abstrakcje matematyczne, próbowali rozwijać geometrię opierając się na „zasadzie wytwarzania” obiektów geometrycznych (sprawdzając przy tym dokładność ich wykonania za pomocą wyszlifowanych płyt kontrolnych itp.), całą geometrię sprowadzali do geometrii euklidesowej, odrzucali teorię względności itd.
Właściwe rozwiązanie filozoficznych zagadnień matematyki jest możliwe jedynie wtedy, gdy zajmuje się stanowisko zgodne z dialektyką materialistyczną, która ujawnia całą złożoność procesu poznawczego.
Materializm dialektyczny traktuje praktykę jako podstawę procesu poznania, jego ostateczny cel i kryterium prawdy. Tylko wtedy, gdy interesujące nas zagadnienia rozpatrujemy z punktu widzenia praktyki – realnym zadaniem okazuje się odkrycie natury abstrakcji matematycznych, wyjaśnienie pochodzenia i rozwoju matematyki, znalezienie właściwej drogi, na której będzie można rozwiązać problem podstaw ma- tematyki.
CDN.
1 N. Bourbaki, Eléments d’histoire des mathématiques, Paris 1960, s. 22.
2 Arystoteles, De anima (cyt. wyd. ros. O dusze Moskwa 1937, s. 102).
3 Arystoteles, Metaphysica (cyt, wyd. ros. Mietafizika, Moskwa 1934, s. 185-186).
4 Arystoteles, Metaphysica (cyt. wyd. ros. Mietafizika, Moskwa 1934, s. 186).
5 G. W. Leibniz, Die philosophischen Schriften, t. VI, Berlin 1880, s. 505-506.
6 Takie „formalne” ujęcie prawdy szeroko rozpowszechniło się w matematyce ostatnich dziesięcioleci. Zwolennikami jego byli H. Poincaré i D. Hilbert, obecnie zaś opowiada się za nim R. Carnap i większość innych współczesnych matematyków Zachodu oraz filozofów-pozytywistów.
7 I. Kant, Prolegomena, Warszawa 1960, s. 43.
8 N. G. Czernyszewski, Izbrannyje filosofskije soczinienija, t. III, Moskwa 1951, s. 783-784 (fragment listu do synów).
9 D. Hilbert,,,Die Naturwissenschaften”, 1930, 47-49, s. 961.
10 L. B. Modzalewski, Matieriały dla biografii N. I. Łobaczewskogo. Moskwa 1948, s. 204.
11 Tamże, s. 204. Foronomia – stara, nie używana już obecnie nazwa kinematyki. Przyp, tłum.
12 N. I. Łobaczewski, Połnoje sobranije soczinienij, t. 2, Moskwa-Leningrad 1948, s. 147, 159.
13 Konwencjonaliści utrzymują, iż pojęcia nauki, aksjomaty matematyczne i teorie naukowe w ogóle są tworzone przez uczonych w sposób dowolny i ustalane na podstawie zawartej między nimi umowy (konwencji); w konwencjonalizmie za punkt wyjścia przyjmuje się kryterium „prostoty” i „ekonomii myślenia”.
14 Heyting, Obzor issledowanij po osnowanijam matiematiki, Moskwa-Leningrad 1936, s. 9.
15 Tamże, s. 20.
16 E. T. Bell, The Development of Mathematics, New York-London 1945, s. 330.
17 „Przedmioty idealne”, „przedmioty abstrakcyjne”, „konstrukty” -to ogólne pojęcia, które pozytywiści interpretują podobnie jak prawa logiki i aksjomaty matematyczne – w duchu konwencjonalizmu, sprowadzając przy tym problem wzajemnych stosunków między ukształtowaną wiedzą i rzeczywistością do semantycznego problemu stosunków wzajemnych między znakiem a tym, co on oznacza.