NOTA: poniższy artykuł pochodzi z książki pt. „Filozofia nauk przyrodniczych” autorstwa L. Bażenowa, K. Morozowa i M. Słuckiego (Książka i wiedza, 1968). Autorem niniejszego rozdziału zamieszczonego w książce pod tym samym tytułem jest Morozow.
2. PROBLEM PRAWDY W MATEMATYCE
Czym jest prawda? Jeszcze Arystoteles mawiał:
„Prawdę wypowiada ten, kto uznaje to, co rozdzielone, za to, co rozdzielone, to zaś, co połączone, za to, co połączone, a błądzi ten, którego pogląd przeciwstawia się faktycznemu stanowi rzeczy.”1
Tak więc prawda – to myśl zgodna z rzeczywistością. Definicja ta, zwana klasyczną definicją prawdy, weszła na trwałe do filozofii materialistycznej, m.in. również do filozofii marksistowskiej. Uznaje ją nawet wielu idealistów, aczkolwiek w sposób idealistyczny interpretowana tu bywa sama rzeczywistość (jako całokształt wrażeń, idei itp.).
Filozoficzna definicja prawdy odnosi się do wszelkiej formy myślenia i obejmuje także sądy każdej nauki. W matematyce zatem przez prawdę należy rozumieć zgodność wszelkich jej teorii i wszelkich sądów (takich, jak aksjomaty, definicje pojęć, twierdzenia itp.) z rzeczywistością. Same natomiast teorie, aksjomaty, definicje i twierdzenia, jeśli są zgodne z rzeczywistością, nazywają się prawdziwymi.
Ponieważ w każdym badaniu teoretycznym, zwłaszcza zaś w naukach dedukcyjnych (takich, jak np. matematyka czy logika), dużą rolę odgrywa wiedza uzyskiwana w drodze wnioskowania, powstaje konieczność wskazania warunków, w których sama logiczna struktura sądu czy teorii może nas naprowadzić na myśl o ich prawdziwości. Już w średniowieczu logicy-scholastycy zaczęli odróżniać prawdę materialną (odpowiadającą klasycznej definicji) od prawdy formalnej. Podział ten został wprowadzony prawie do wszystkich podręczników z zakresu tradycyjnej logiki formalnej. Oto jak definiuje prawdę materialną i formalną Czełpanow:
„Uznajemy jakiś sąd za prawdziwy materialnie, kiedy jest on zgodny z rzeczywistością, odpowiada rzeczom. Uznajemy ten czy inny wniosek za prawdziwy formalnie w tym przypadku, kiedy wyprowadza się go w sposób nie budzący wątpliwości z tych lub innych twierdzeń, tj. kiedy poprawny jest sposób łączenia myśli; sam wniosek może tu bynajmniej nie być zgodny z rzeczywistością.”2
Na równi z terminem „prawda formalna” wielu logików używa terminu „poprawność”, co jest zgodne z najbardziej rozpowszechnioną definicją logiki formalnej jako „nauki o prawach i formach poprawnego myślenia”. W logice współczesnej i w matematyce najczęściej używa się terminu „prawdziwość logiczna”. Terminem tym określa się prawdziwość zdania (sądu, wypowiedzi), którą warunkuje jego struktura logiczno-formalna bądź przyjęte przy jego dowodzeniu (wyprowadzaniu, uzasadnianiu, analizowaniu) prawa logiki. Tak np. każde zdanie można uznać za logicznie prawdziwe, jeśli potrafimy wykazać, iż jego forma pokrywa się z formą prawa logicznego bądź może być sprowadzona do formy prawa logicznego.
Jako przykład rozpatrzymy trzy zdania: 1) Ponieważ Jacques i Pierre są Francuzami, wszyscy zaś Francuzi mówią po francusku, przeto Jacques i Pierre mówią po francusku. 2) Ponieważ nikiel i kobalt są metalami, wszystkie zaś metale są przewodnikami prądu elektrycznego, przeto nikiel i kobalt przewodzą prąd elektryczny. 3) Ponieważ iloczyn a·b jest liczbą nieparzystą, wszystkie zaś liczby, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, same są nieparzyste, przeto a i b są nieparzyste. Logiczną prawdziwość tych zdań (niezależnie od występujących w nich terminów) można udowodnić przez powołanie się na to, iż każde z nich można przyporządkować temu samemu wzorowi rachunku zdań, znanemu z logiki matematycznej:
[VxVy, (P(x, y) ↄ Q(x, y)) &P(a, b)] ↄ Q(a,b).
Jak należy czytać i interpretować ten wzór? Znak V (nazywany kwantyfikatorem ogólnym) czyta się „dla każdego”, „dla dowolnego”. Jeśli piszemy Vx, to czytamy: „dla każdego x”. ↄ – znak implikacji (wynikania) zastępuje słowa: „jeśli … to”. W danym przykładzie wzór P(x, y) ↄ Q(x, y) znaczy: jeśli zachodzi (jest prawdziwe) P(x, y), to zachodzi (jest prawdziwe) również Q(x, y). & to znak koniunkcji, łączenia, który zastępuje w logice matematycznej spójnik „i”. W danym przypadku czytamy więc: „i zachodzi P(a, b)”, „i jest prawdziwe P(a, b)”3. W całości powyższy wzór można zinterpretować – posługując się jednym z naszych przykładów – w następujący sposób. Z prawdziwości zdania „dla każdego x i y jest prawdą, że jeśli x i y są metalami (P(x, y)), to są one (x i y) przewodnikami prądu elektrycznego (Q(x, y))” i z prawdziwości zdania ,,a(nikiel) i b(kobalt) są metalami (P(a, b))” wynika prawdziwość zdania „a (nikiel) i b (kobalt) przewodzą prąd elektryczny (Q(a, b))”. Krótko mówiąc, mamy tu do czynienia z wnioskowaniem kategoryczno-hipotetycznym (modus ponens), które znamy z tradycyjnej logiki formalnej:
Jeśli x i y są metalami, to przewodzą prąd elektryczny.
Nikiel i kobalt są metalami.
A więc nikiel i kobalt przewodzą prąd elektryczny. Poprawność tego wnioskowania gwarantowała już logika Arystotelesowa.
Problem prawdziwości logicznej (prawdziwości formalnej, poprawności logicznej) interesował uczonych wszystkich epok. Np. Leibniz określał ją jako prawdę konieczną bądź jako „prawdę obowiązującą we wszystkich możliwych światach”. Hume i Kant prawdziwość logiczną określali mianem analitycznej w odróżnieniu od prawdziwości syntetycznej, tj. prawdziwości faktycznej jako zgodności myśli z rzeczywistością. Pojęcia prawdziwości logicznej, poprawności formalnej, dowodności, uzasadnienia, wywodności itp. odgrywają bardzo ważną rolę przy rozpatrywaniu zagadnień związanych z myśleniem w ogóle, szczególnie zaś doniosłe znaczenie mają w przypadku problemu prawdy w matematyce.
„Jeśli nasze przesłanki są prawdziwe – pisze F. Engels – i jeśli poprawnie stosujemy do nich prawa myślenia, to wynik powinien być zgodny z rzeczywistością …”4
Tak np. jeśli u podstaw jakiejś teorii matematycznej leżą aksjomaty A1, A2, … An, (sądy, o których z góry wiemy, że są prawdziwe) i jeśli wyprowadzamy z nich za pomocą dostatecznie niezawodnych reguł logicznych twierdzenie B, to możemy z całą pewnością utrzymywać, iż twierdzenie to jest prawdziwe nie tylko logicznie, lecz także faktycznie.
Prawdziwość systemu aksjomatów ściśle się wiąże z jego niesprzecznością – nie sposób uznać za prawdziwy tego systemu, który wiedzie do sprzeczności (np. doprowadza do wniosku typu 1 = 0), oznaczałoby to bowiem, że nie istnieje zbiór obiektów spełniający wymagania owego systemu. Jeśli zaś danemu całokształtowi sądów (systemowi aksjomatów) nie odpowiadają żadne obiekty, to nie jest on prawdziwy.
„Wymagając od jakiegokolwiek systemu aksjomatów niesprzeczności – pisze S. A. Janowska -matematyk faktycznie wymaga, by istniała choćby jedna dziedzina obiektów, w której jego wzory miałyby konkretny sens, do której mogłyby się stosować i wobec której występowałyby jako jej odwzorowanie.”5
Tak więc niesprzeczność teorii matematycznych jest w określonym sensie równoznaczna z ich prawdziwością. Ograniczenie sprowadzające się do postulatu niesprzeczności, nakładane na sławetną „swobodę” matematyki, pojmowaną przez idealistów jako całkowita dowolność, staje się przeto koniecznym (ale nie wystarczającym!) warunkiem zgodności teorii matematycznych z rzeczywistością.
„Nie wszystkie pojęcia i sądy «swobodnie tworzone» przez rozum matematyka mogą, jak się okazuje, korzystać z prawa bytu, lecz tylko te z nich, które nie prowadzą do sprzeczności (…) W takim razie «kaprys» matematyka może polegać tylko na «swobodnym» tworzeniu określonych faktów matematycznych, które w ostatecznym rachunku odzwierciedlają coś realnego, tj. coś, co niezależnie od matematyka i jego kaprysów istnieje w świecie zewnętrznym. I to nazywa się wyzwoleniem spod tyranii świata zewnętrznego!”6
Z tego wszelako bynajmniej jeszcze nie wynika, iż w matematyce ma znaczenie jedynie prawdziwość logiczna, prawdziwość zaś faktyczna nie odgrywa żadnej roli. Z gruntu fałszywe są oświadczenia w rodzaju tego, z jakim wystąpił niegdyś H. Poincaré:
„Matematyka jest niezależna od istnienia przedmiotów materialnych; w matematyce wyraz «istnieć» może mieć jedno tylko znaczenie – znaczy on: być wolnym od sprzeczności.”7
Istnienie w matematyce często bywa interpretowane w sposób formalny; wynika to z osobliwości współczesnej metody aksjomatycznej. We współczesnych teoriach rozwijanych w sposób aksjomatyczny nie definiuje się wprost ani własności obiektów, ani samych obiektów, ani stosunków zachodzących między nimi. Z wszelkich możliwych kombinacji obiektów, ich własności i łączących je stosunków system aksjomatów wyodrębnia takie kombinacje, w przypadku których aksjomaty są spełniane i w tym sensie definiują owe obiekty. Jak mawiał Poincaré, aksjomaty – to ukryte definicje. Obiekty, własności i stosunki wyodrębniane przez system aksjomatów uważane są za „istniejące” z punktu widzenia danej teorii aksjomatycznej; te zaś, które nie uległy wyodrębnieniu – „nie istnieją”. Teoria aksjomatyczna może być przeto traktowana jako system formalny ustalający stosunki wzajemne między własnymi elementami (znakami, wzorami, wyrazami itp.) i nie dotyczący ich treści. Taką teorię aksjomatyczną nazywa się syntaktyczną. Bardzo często zachodzi jednakże konieczność uwzględnienia również aspektu treściowego teorii rozwiniętej w sposób aksjomatyczny i zainteresowania się jej interpretacjami przedmiotowymi. W tym przypadku mówimy o aspekcie semantycznym teorii bądź nazywamy ją semantycznym systemem aksjomatycznym.
Cała historia matematyki świadczy przeciwko stanowisku Poincarégo, który sprowadzał problem istnienia w matematyce do problemu niesprzeczności. W końcu XIX wieku, a zwłaszcza w wieku XX wielu matematyków i logików pracowało nad ścisłym zdefiniowaniem aspektu syntaktycznego i semantycznego teorii aksjomatycznych, nad ścisłym wyodrębnieniem prawdy logicznej (formalnej, analitycznej) i faktycznej (treściowej, syntetycznej) oraz nad ustaleniem między nimi powiązań wzajemnych.
Jeden z największych niemieckich matematyków i logików G. Frege (1848-1925) zaproponował uznać twierdzenie za prawdziwe analitycznie, jeśli w toku jego dowodzenia wykorzystuje się tylko ogólne definicje i prawa logiczne, za prawdziwe zaś syntetycznie, jeśli jego dowód wymaga sięgnięcia do twierdzeń jakiejś nauki szczegółowej. Frege wiele uwagi w ogóle poświęcił wyjaśnieniu pojęć sensu i znaczenia wyrażeń oraz oznaczeń językowych i stał się w istocie jednym z pierwszych twórców semantyki logicznej. Uściśleniem pojęcia prawdziwości logicznej zajmowano się następnie na terenie wielu teorii logiki matematycznej i semantyki logicznej (L. Wittgenstein, A. Tarski, R. Carnap, R. Martin, W. V. Quine, J. Kemeny i in.).
W przypadku zupełnych systemów logicznych i matematycznych (np. rachunek zdań, wąski rachunek predykatów) prawdziwość logiczną definiuje się łatwo. Ponieważ w tych systemach klasa twierdzeń formalnych (dających się udowodnić formuł wyrażających te czy inne zdania) pokrywa się z klasą praw logicznych, przeto prawdziwość logiczną można tu zdefiniować w sposób czysto syntaktyczny jako możliwość udowodnienia formuły. Zdefiniowanie natomiast prawdziwości logicznej w przypadku systemów niezupełnych logicznych i matematycznych (jak np. arytmetyka aksjomatyczna) natrafia już na znaczne trudności, ponieważ nie każde zdanie prawdziwe da się dowieść w tym systemie, tj. klasa zdań prawdziwych jest tu obszerniejsza od klasy zdań, które można udowodnić.
Dla tego przypadku zaproponowano kilka metod definiowania prawdziwości logicznej. Twórcą jednej z nich jest polski logik A. Tarski, który wykorzystał w niej pojęcie metajęzyka. Metajęzykiem nazywa się taki język, za którego pomocą przeprowadza się analizę jakiegoś innego języka, a więc bada się strukturę zdań tego języka, dowodzi twierdzeń dotyczących dedukcyjnych właściwości teorii formułowanych w tym języku, wyjaśnia stosunki łączące ten język z innymi językami itd. Tarski wprowadza pojęcie predykatu prawdziwości w metajęzyku danej teorii i definiuje logiczną prawdziwość dowolnego zdania p tej teorii w następujący sposób: w danej teorii zdanie p nazywa się prawdziwym, jeśli w jej metateorii da się dowieść wzór T(p), gdzie T to metalogiczny predykat prawdziwości. Stosując metodę Tarskiego, można odróżnić prawdziwość logiczną od prawdziwości faktycznej, zależnie od tego, czy predykat T można zdefiniować w metateorii przy użyciu samych tylko aksjomatów logicznych danej teorii, czy też należy w tym celu sięgnąć po środki pozalogiczne teorii przedmiotowej.
Nie ulega wątpliwości, że ustalenie pojęcia prawdziwości logicznej i wykorzystanie go w matematyce i logice nie powinno wywoływać protestu. Co więcej, bez tego pojęcia nie może się już obejść współczesna matematyka. Należy jednakże zdecydowanie przeciwstawiać się absolutyzowaniu pojęcia prawdziwości logicznej, zastępowaniu nim pojęcia prawdziwości faktycznej, a tym bardziej pojęcia prawdziwości gnozeologicznej. Taki sposób rozwiązywania problemu „prawdy w matematyce” niechybnie prowadzi do idealizmu.
Idealistyczne ujęcie problemu prawdziwości (a także niesprzeczności, możliwości udowodnienia itp.) jest szczególnie charakterystyczne dla matematyków i logików zajmujących albo stanowisko neopozytywistyczne, albo stanowiska doń zbliżone. Tak np. jeden z twórców filozofii analitycznej, L. Wittgenstein, utrzymywał, że zdanie logicznie prawdziwe sprowadza się do tautologii i niczego nie stwierdza o świecie realnym. Nie mówiąc już o idealistycznym charakterze takiej kategorycznej tezy, jest ona w rzeczywistości błędna, ponieważ zdania logiki wyższych rzędów (zdania teorii typów, metateorii) bądź niesformalizowanych systemów matematycznych w ogóle nie bywają zaliczane do zdań logicznie prawdziwych.
Charakterystyczne dla szkoły neopozytywistycznej absolutyzowanie niesprzeczności i zastępowanie nią prawdziwości faktycznej stwierdzamy również u Neuratha:
„Sprawdzenie prawdziwości zdania nieustannie zmusza do porównywania go z systemem innych zdań w celu wyjaśnienia, czy zgodne jest ono z nimi, czy niezgodne, nie polega zaś na porównywaniu go z rzeczywistością. Pojęcie logicznej niesprzeczności winno raz na zawsze zastąpić pojęcie stosunku, jaki łączy sąd z czymś danym.”8
Tego rodzaju zastępowanie pojęcia prawdziwości faktycznej pojęciem niesprzeczności pozostaje w rażącej niezgodności z faktami naukowymi. Jeśli przecież przesłanki będą fałszywe, to wedle znanego prawa logicznego (z fałszu wynika wszystko – co zechcemy i prawda, i fałsz) również wniosek może się okazać fałszywy, aczkolwiek nie przeczy przesłankom. Dla nauki zaś i praktyki nie jest obojętne, czy posiedliśmy prawdziwą wiedzę, adekwatnie odzwierciedlającą rzeczywistość, czy wiedzę fałszywą.
Uznanie niesprzeczności twierdzeń za jedyne kryterium prawdziwości i wartości teorii prowadzi do formalistycznej odmiany interpretacji prawdy, uznanej przez pragmatyzm, zgodnie z którą każdy podmiot może mieć własną prawdziwą „teorię” (wystarczy, by zdania tej teorii były niesprzeczne), a więc może istnieć tyle prawdziwych teorii, ile istnieje ludzi. Przy takim traktowaniu zagadnienia dowolny pseudonaukowy system sądów może być uznany za prawdziwy, jeśli tylko spełnia formalistyczne kryterium niesprzeczności.
Formalistycznemu poglądowi na prawdę przeczy wiele faktów naukowych, zwłaszcza zaś fakty dotyczące niezupełnych systemów matematycznych. System aksjomatów opisujący dany układ obiektów nazywa się zupełnym, jeśli można zeń w sposób dedukcyjny wyprowadzić wszystkie sądy prawdziwe odnoszące się do danej dziedziny przedmiotowej. Jeśli zaś pewnych twierdzeń prawdziwych wywieść z tego systemu nie sposób system nazywamy niezupełnym. Ponieważ jednak, jak wykazał Gödel, takie systemy istnieją, przeto istnieją również sądy prawdziwe niewyprowadzalne z danego systemu aksjomatów. Z punktu widzenia natomiast formalistów, sądy takie trudno uznać za prawdziwe, niepodobna bowiem o nich orzec, że nie pozostają w sprzeczności z przyjętym systemem aksjomatów.
W istocie wszelako sąd jest prawdziwy nie dlatego, że można go wywieść logicznie, lecz dlatego, że adekwatnie odzwierciedla rzeczywistość. Kryterium niesprzeczności nie sposób traktować jako kryterium podstawowego przy rozwijaniu teorii. Nawet jeśli tej czy innej teorii nadano postać sformalizowaną, to wcześniej czy później próba jej oceny zmusza nas do odwołania się do realnej rzeczywistości.
Obecnie można uznać za fakt udowodniony, iż nie jest możliwe zbudowanie formalnego systemu aksjomatycznego, który obejmowałby wszystkie twierdzenia matematyki. Okazało się niezbicie, że w matematyce nie można pretendować do osiągnięcia absolutnej, wyczerpującej prawdy. W związku z tym z całą ostrością wystąpił problem stosunku prawdy absolutnej do prawdy względnej.
Nie ulega wątpliwości, że rozwijanie teorii matematycznej nie rozpoczyna się od podania systemu aksjomatów, który szczęśliwym zbiegiem okoliczności przyszedł do głowy genialnemu matematykowi. Wymaga ono prowadzenia mozolnych analityczno-syntetycznych badań nad powstałymi już teoriami, wyodrębnienia z nich grup aksjomatów, wszechstronnego wyjaśnienia znaczenia każdego z nich (m.in. przez ustalenie, jakie twierdzenia danej teorii tracą sens w przypadku usunięcia czy modyfikacji określonego aksjomatu), wymaga wreszcie wyboru najbardziej trafnego systemu aksjomatów.
„Nic nie jest bardziej obce metodzie aksjomatycznej, nic nie jest bardziej od niej dalekie niż statyczna koncepcja nauki (…) Struktury nie pozostają niezmienne ani pod względem swej liczby, ani pod względem swej istoty; jest rzeczą całkowicie możliwą, że dalszy rozwój matematyki doprowadzi do zwiększenia liczby podstawowych struktur, do odkrycia nowych takich struktur; wiemy, jak owocne jest wprowadzanie nowych aksjomatów czy nowych kombinacji aksjomatów i możemy z góry ocenić znaczenie tych przyszłych odkryć na podstawie tego, co wiemy o doniosłości wyników, które osiągnięto dzięki strukturom już znanym. Z drugiej zaś strony te ostatnie nie są czymś zakończonym i byłoby nader zdumiewające, gdyby ich płodność uległa całkowitemu wyczerpaniu.”9
Aby właściwie zrozumieć, jaki jest stan współczesnej matematyki i jakie są drogi jej rozwoju, niezbędne staje się przezwyciężenie jednostronności zarówno dogmatyzmu, jak i relatywizmu. Dogmatyk nie jest zdolny traktować twierdzeń nauki, zwłaszcza zaś systemów aksjomatów, jako rezultatów podlegających poprawianiu i doskonaleniu. Relatywista natomiast nie dostrzega, że teorie naukowe, mimo częstych zmian, jakim ulegają one same i sposoby ich opracowania, są w istocie – wedle słów W. Lenina, „ziarnami prawdy absolutnej”, że rozwój teorii i metod matematycznych umożliwia coraz bardziej adekwatne odzwierciedlenie wielorakich stosunków istniejących w obiektywnej rzeczywistości.
Tych czy innych trudności pojawiających się w matematyce nie należy uznawać za objaw kryzysu tej nauki. Nie sposób nie zgodzić się ze stanowiskiem postępowego argentyńskiego filozofa-materialisty M. Bungego, który o systemach matematycznych pisze następująco:
„Zdania uznawane za podstawowe w danym systemie to nie płód nieomylnej intuicji, lecz hipotezy robocze, prawie takie same, z jakimi mamy do czynienia w naukach empirycznych (…) Teorie nasze, zarówno formalne, jak i faktyczne, nie są w niczym podobne do gmachu, który się wali przy najmniejszym przesunięciu fundamentu; są raczej podobne do rosnącego organizmu z jego szybko zużywającymi się i wzajemnie się kontrolującymi częściami.”10
Należy zarazem podkreślić, że jedne teorie matematyczne nie zastępują innych w sposób bezładny na każde skinienie matematyków, przecząc sobie wzajemnie. Wszystko, co prawdziwe i postępowe, osiągnięte niegdyś w przeszłości, zostaje zachowane; w matematyce, podobnie zresztą jak w sferze myśli w ogóle, mamy do czynienia ze zjawiskiem pewnego rodzaju przekazywania dziedzictwa. Wyraźnym dowodem świadczącym o istnieniu owej ciągłości może służyć tzw. zasada korespondencji11; podstawę do jej sformułowania dają już koncepcje N. I. Łobaczewskiego, który wykazał, że jego geometria w stosunku do geometrii Euklidesowej ma charakter teorii uogólnionej i obejmuje ją jako przypadek szczególny, graniczny.
Zasada korespondencji odgrywa bardzo wielką rolę heurystyczną, pozwala bowiem ekstrapolować stosunki matematyczne istniejące w obrębie jednej teorii na teorię drugą. Metodę ekstrapolacji zastosował w istocie Łobaczewski, wykazując, że jest logicznie możliwa nie tylko jedna geometria i że poprzez dokonanie odpowiednich zmian i uogólnienie podstaw geometrii Euklidesa można rozwijać inne teorie, doskonale spójne logicznie i bogate treściowo.
Nieustanne zmiany koncepcji i metod w matematyce, czynią ją coraz bardziej precyzyjnym i coraz potężniejszym narzędziem poznawania świata – odbijania obiektywnej rzeczywistości. Pełne wahań stanowisko filozoficzne niektórych matematyków, analizujących zagadnienia metodologiczne swej nauki, pozbawia ich możliwości właściwego ujęcia problemu stosunku między matematyką a rzeczywistością. Tak np. Bourbaki jak pisze, „z powodu braku kompetencji” – nie decyduje się na zajęcie „wiążącego stanowiska” w przypadku podstawowego zagadnienia filozoficznego matematyki zagadnienia „wzajemnego stosunku świata doświadczalnego do świata matematycznego”12. Rzecz przy tym charakterystyczna, że Bourbaki tylko pozornie zajmuje stanowisko neutralne wobec powyższego zagadnienia, wokół którego toczy się ostra walka między materializmem i idealizmem. W istocie czyni on poważne ustępstwa na rzecz idealizmu.
Bourbakiemu wydaje się, że więź między strukturami matematycznymi a rzeczywistością fizyczną jest czymś przypadkowym, podrzędnym i niepoznawalnym.
„Teza, iż między zjawiskami doświadczalnymi a strukturami matematycznymi istnieje ścisła więź, została, jak się wydaje, zgoła nieoczekiwanie potwierdzona przez niedawne odkrycia w fizyce współczesnej; nie znamy jednak zupełnie «głębokich przyczyn» tej więzi (jeśli w ogóle tym słowom można przypisać jakikolwiek sens) i, być może, nie poznamy ich nigdy.”13
Bourbakiego zdumiewa, że w fizyce kwantowej za intuicyjnymi wyobrażeniami „makroskopowymi” kryją się zjawiska ,,mikroskopowe”, całkowicie odmiennej natury, że do ujęcia tych zjawisk można wykorzystać działy matematyki, których bynajmniej nie rozwijano z myślą o naukach eksperymentalnych, że zastosowanie ogólnych koncepcji matematycznych nie ogranicza się zgoła do określonych zastosowań szczegółowych i że koncepcje te dają się na nowo interpretować. Analizy wszystkich tych trudnych zagadnień metodologicznych matematyki nie należy oczywiście uważać za zakończoną. Materializm dialektyczny stwarza możliwość zasadniczo poprawnego rozwiązania tych zagadnień i wskazuje kierunek dalszych badań.
Stosowanie się ogólnych struktur matematycznych nie tylko do owych szczegółowych prawd matematycznych, z których zostały one wyabstrahowane, lecz także do daleko odbiegających od nich problemów, jak również do tych zjawisk rzeczywistości, do których opisu bynajmniej nie tworzono ich specjalnie, nie jest czymś przypadkowym. Nieprawdą jest, że przyczyny tego faktu są dla nas zupełnie nieznane i że nie poznamy ich nigdy. Całkowita słuszność jest po stronie A. A. Lapunowa, który omawiając artykuł Bourbakiego Architektura matematyki, pisze:
„Przez jedność świata materialnego warunkowany jest w istocie fakt, że w najbardziej różnorodnych okolicznościach kształtują się tego samego typu więzi między rozmaitymi aspektami przejawów jego cech charakterystycznych. Przejawy te stają się źródłem koncepcji fizycznych, które z kolei stają się źródłem teorii matematycznych. Pokrewieństwo struktur badanych w ramach tych teorii stanowi swoiste odzwierciedlenie jedności świata materialnego w abstrakcji matematycznej.”14
I nie ma w tym nic dziwnego, że rzeczywistość doświadczalna mieści się w „formach abstrakcyjnych – strukturach matematycznych”. Twierdzenia matematyki doskonale się zgadzają z rzeczywistością i są w niej z powodzeniem stosowane właśnie dlatego, że w ostatecznym wyniku zostały wyabstrahowane z tej rzeczywistości. Praktyka ludzka, nade wszystko zaś działalność produkcyjna, jest kryterium przydatności teorii matematycznych do opisu określonych stosunków istniejących w materialnym świecie.
CDN.
1 Arystoteles, Metaphysica (cyt. wyd. ros. Mietafizika, Moskwa 1934, s. 162).
2 G. I. Czelpanow, Uczebnik łogiki, Moskwa 1946, s. 6-7.
3 Jest tu zinterpretowane wyrażenie & P(a, b), którego oczywiście nie można rozważać w oderwaniu od pozostałej części zdania w nawiasie kwadratowym. Przyp. red. wyd. polskiego.
4 Aus Engels’ Vorarbeiten zum „Anti-Dühring”, w: K. Marx, F. Engels, Werke, t. 20, Berlin 1962, s. 573.
5 S. Janowskaja, Idiealizm i matiematika. Sbornik statiej po filosofii matiematiki. Pod riedakcyjej professora S. A. Janowskoj, Moskwa 1936, s. 64; zdanie to ma ścisły sens matematyczny i jest znane w logice pod nazwą twierdzenia o zupełności klasycznego rachunku logicznego. Twierdzenie to zostało udowodnione przez jednego z najwybitniejszych współczesnych logików Kurta Gödla (por. np. A. Grzegorczyk, Zarys logiki ma- tematycznej, Warszawa 1961)- Przyp. red. wyd. polskiego.
6 S. Janowskaja, op. cit., s. 67-68.
7 H. Poincaré, Nauka i metoda, Warszawa 1911, s. 114.
8 O. Neurath, Le développement du Cercle de Vienne et l’a- venir de l’empirisme logique, Paris 1935, s. 5.
9 N. Bourbaki, L’Architecture des mathématiques. Les grands courants de la pensée mathématique, Cahiers du Sud, 1948, s. 35-47.
10 M. Bunge, Intuition and Science, New York 1962, s. 65.
11 Zasada korespondencji odgrywa ważną rolę również w innych naukach, zwłaszcza w fizyce. Sam termin „zasada korespondencji” zaproponował duński fizyk N. Bohr w 1913 r. Bohr wykazał, że w przypadku dużych liczb kwantowych ta częstotliwość promieniowania emitowanego przez atom przy przechodzeniu z jednego stanu w drugi, którą oblicza się na podstawie teorii kwantów, zbliża się asymptotycznie do jednej z częstotliwości obliczonych na podstawie teorii klasycznej. Korespondencja istnieje również w innych przypadkach między prawami mechaniki kwantowej i klasycznej. Tak np. jeśli się przyjmie, iż kwant działania w równaniu Schroedingera dąży do zera (h→0), to równanie to przekształca się w równanie Hamiltona- Jacobiego. Korespondencja zachodzi także między prawami mechaniki relatywistycznej i klasycznej, między prawami optyki falowej i geometrycznej itd.
12 N. Bourbaki, L’Architecture des mathématiques. Les grands courants de la pensée mathématique, „Cahiers du Sud”, 1948, s. 35-47.
13 Tamże, s. 35-47.
14 O fundamientie i stile sowriemiennoj matiematiki, Matiematiczeskoje proswieszczenije”, 1960, nr 5, s. 114- 115.