NOTA: poniższy artykuł pochodzi z książki pt. „Filozofia nauk przyrodniczych” autorstwa L. Bażenowa, K. Morozowa i M. Słuckiego (Książka i wiedza, 1968). Autorem niniejszego rozdziału zamieszczonego w książce pod tym samym tytułem jest Morozow.
3. O PODSTAWACH MATEMATYKI
Na czym polega uzasadnienie jakiegoś sądu? Polega ono albo na wskazaniu odpowiadających mu faktów, albo na wskazaniu innych sądów, z których ów sąd logicznie wynika. Uzasadnienie teorii matematycznej jest równoznaczne albo ze wskazaniem układu obiektów czyniącego jej zadość, albo z udowodnieniem, że wszystkie jej zdania wynikają z określonego systemu aksjomatów.
Obecnie niezwykle daleko zaawansowany, a zapoczątkowany w połowie XIX wieku proces rozszerzania przedmiotu matematyki oraz sukcesy aksjomatyzacji teorii matematycznych wzmogły zainteresowanie podstawami matematyki (systemami aksjomatów), problemem rozwijania ścisłego systemu definicji i dowodów, logiką dowodu. Pisze o tym A. N. Kolmogorow:
„Przy rozwijaniu rozległych i niekiedy nader abstrakcyjnych teorii, obejmujących oprócz przypadków szczególnych, które doprowadziły do ich stworzenia, cały ogrom materiału, mogący znaleźć konkretne zastosowanie dopiero w perspektywie dziesięcioleci, nie sposób już oczekiwać, że bezpośrednimi sygnałami o niewystarczającej poprawności teorii będą zarejestrowane błędy. Zamiast tego należy sięgać do całego nagromadzonego doświadczenia pracy myśli ludzkiej, które znajduje właśnie pełny wyraz w formułowanych stopniowo przez naukę postulatach «ścisłości» dowodów.”1
Postulat ścisłości nie jest niczym raz na zawsze ustalonym i poglądy na to, co jest ścisłe, a co ścisłe nie jest, ulegały zmianom w każdym stuleciu. Dopiero w końcu XIX wieku ukształtował się wzorzec ścisłości oparty na teoriomnogościowej koncepcji rozwijania wszelkiej teorii matematycznej. Jak już mówiliśmy, każda ściśle aksjomatycznie rozwinięta teoria matematyczna pozostaje w istocie hipotetyczna2 dopóty, dopóki nie znajdzie treściowej interpretacji, tj. odpowiedników – albo w postaci obiektów rzeczywistości, albo w postaci teorii stosowanych już w praktyce3. Najważniejszym źródłem interpretacji wszelkich możliwych systemów aksjomatów była i nadal pozostaje teoria mnogości, której obiektami wyjściowymi są liczby naturalne4. Teoria ta, rozwinięta przez Georga Cantora, wywarła ogromny wpływ na rozwój matematyki i odegrała szczególnie ważną rolę w rozwiązywaniu problemu jej podstaw.
Okazało się, że za pomocą zasad teoriomnogościowych można konstruować wszystkie znane pojęcia matematyczne i interpretować dowolne systemy aksjomatyczne. Problem podstaw matematyki został, zdawać by się mogło, rozwiązany. Wkrótce jednak ujawniły się poważne trudności, do których zrozumienia niezbędne są pewne wiadomości z zakresu koncepcji aktualnej nieskończoności i prawa wyłączonego środka.
Czymże jest „aktualna nieskończoność”? Terminem tym określa się, z grubsza rzecz biorąc, nieskończony zbiór obiektów, którego budowa została zakończona, jego zaś elementy zostały przedstawione jednocześnie. Za przykład takiego zbioru może służyć ciąg liczb naturalnych. Jednak
„pojęcie aktualnej nieskończoności – pisze P. S. Nowikow – ma charakter wyidealizowany; teza ta nie budzi zgoła wątpliwości. Zbudowanie nieskończonej liczby poszczególnych przedmiotów, dokonanie nieskończonej liczby aktów jest zadaniem niewykonalnym nie tylko z powodu braku środków praktycznych; także z zasady nie da się go nigdy i żadnymi środkami zrealizować. Tymczasem myśl matematyczna powszechnie korzysta z owej idealizacji, traktując np. figurę geometryczną jako nieskończony zbiór punktów, odcinek czasu jako nieskończony zbiór momentów, ruch jako nieskończony zbiór poszczególnych położeń poruszającego się ciała itd.”5
Jeśli zaś idzie o prawo wyłączonego środka, to stanowi ono prawo logiczne nie dopuszczające do sprzeczności w myśleniu. Można je sformułować następująco6; z dwu zdań sprzecznych A i nie-A -tylko jedno jest prawdziwe. Tak np. nie sposób jednocześnie twierdzić, że wszystkie liczby naturalne mniejsze od 10 są liczbami parzystymi i że niektóre z nich są nieparzyste.
Wykorzystanie tego prawa w operacjach logicznych na takich obiektach, jak „aktualna nieskończoność”, doprowadziło do tzw. „paradoksów nieskończoności” i postawiło pod znakiem zapytania metodę aksjomatyczną w jej klasycznej interpretacji7. Paradoksów tych odkryto wiele (paradoksy Burali Fortiego, Cantora, Russella i in.)8.
Wynikły one przy rozpatrywaniu zbioru9 zawierającego siebie jako podzbiór10, wiązały się z pojęciem zbioru wszystkich zbiorów11 itp.
Jak niełatwo czytelnikowi nieobytemu z matematyką pojąć istotę owych paradoksów, można się przekonać na następujących przykładach. Czy istnieje zbiór wszystkich zbiorów? Formalnie rzecz biorąc, zbiór uważa się za wyznaczony, jeśli zostało podane prawo, wedle którego konstruowane są elementy zbioru. Zbiór wszystkich zbiorów winien zawierać w sobie jako podzbiór zbiór własnych podzbiorów. A więc jego moc12 nie jest mniejsza niż moc zbioru jego podzbiorów. Wniosek ten pozostaje jednak w niewątpliwej sprzeczności ze znanym twierdzeniem teorii zbiorów, które głosi, iż moc zbioru wszystkich podzbiorów danego zbioru jest zawsze większa od mocy samego zbioru.
Innego rodzaju sprzeczność zawiera w sobie pojęcie zbioru wszystkich zbiorów, nie będących elementami samych siebie (paradoks Russella). Otóż zastanówmy się nad problemem czy ów zbiór jest elementem samego siebie? Jeśli jest, to, jak z podanej powyżej definicji naszego zbioru wynika, nie powinien zawierać siebie jako elementu. Twierdząca odpowiedź prowadzi zatem do sprzeczności. Do tej samej sprzeczności doprowadza wszelako również odpowiedź przecząca – jeśli nasz zbiór nie jest elementem samego siebie, to ex definitione powinien zawierać siebie jako element. Na pytanie to nie sposób tedy podać niesprzecznej odpowiedzi. Popularyzując ten paradoks, Russell (1919) odwołuje się do analogii z wiejskim fryzjerem, który goli wszystkich tych i tylko tych mieszkańców swej wsi, którzy nie golą się sami. Czy goli więc on samego siebie? Jeśli się sam goli, to narusza warunek, wedle którego powinien golić tylko tych mieszkańców wsi, którzy sami się nie golą. Jeśli się sam nie goli, to powtórnie narusza przyjęty warunek, obowiązany jest bowiem golić tych wszystkich, którzy nie golą się sami.
Paradoksy teorii mnogości wykazały, że nie stanowi ona w pełni niezawodnej podstawy do rozwijania metody aksjomatycznej. Tzw. kierunek klasyczny w matematyce (wykorzystujący pojęcie aktualnej nieskończoności) poddany został ostrej krytyce przez Kroneckera, Szatunowskiego, Borela, Łuzina i innych matematyków. W związku z krytyką kierunku klasycznego obok innych szkół powstał intuicjonizm (Brouwer, Weyl, Heyting i in.). Z punktu widzenia intuicjonistów podstawową rzeczą w matematyce jest metoda konstruowania obiektów. Obiekty, których nie można skonstruować biorąc za punkt wyjścia ciąg liczb naturalnych bądź w przypadku których nie można wskazać metody konstruowania, nie mają prawa bytu. Toteż aktualna nieskończoność ustępuje miejsca nieskończoności potencjalnej, tj. nieskończoności nie zakończonej, nieskończoności w procesie konstruowania.
Kontynuatorzy intuicjonistów – zwolennicy konstruktywistycznego kierunku w matematyce (A. A. Markow, N. A. Szanin i in.)13 – za punkt wyjścia przy rozwiązywaniu zagadnień podstaw matematyki i metod jej rozwijania przyjmują te same podstawowe założenia: negują aktualną nieskończoność, ograniczają zastosowanie prawa wyłączonego środka, uznają za istniejące tylko te obiekty, które mogą być skonstruowane bądź w przypadku których można wskazać odpowiednią metodę konstruowania. Abstrakcję leżącą u podstaw matematyki konstruktywistycznej przyjęło się nazywać abstrakcją potencjalnej realizowalności.
„Polega ona – pisze A. A. Markow – na tym, że się abstrahuje od realnych granic naszych konstrukcyjnych możliwości – granic uwarunkowanych przez ograniczoność naszego życia w przestrzeni i w czasie … Stosując tę koncepcję do słów, uzyskujemy możliwość snucia rozważań o dowolnie długich słowach jako o słowach realizowalnych. Ich realizowalność ma charakter potencjalny, ich przykłady dałyby się z praktycznego punktu widzenia zrealizować, gdyby życie nasze trwało dostatecznie długo i gdybyśmy mieli dostatecznie wiele miejsca i materiałów… Uznając tę abstrakcję, w dalszym ciągu przez słowo będziemy rozumieć abstrakcyjne, potencjalnie realizowalne słowo.”14
Jako przykład takiego „słowa” wskażemy słowo składające się z 101000 liter, które da się zrealizować, tj. zapisać; w tym celu trzeba będzie jednak zużyć bardzo dużo czasu, papieru itp.
Zwolennicy konstruktywistycznego (genetycznego kierunku w matematyce zbudowali od nowa wiele jej działów. Obiekty ich matematyki, rzeczywiście obdarzone nie wywołującym dwuznaczności istnieniem, nie prowadzą do sprzeczności. W wyniku prac konstruktywistów (a także prac ich poprzedników) stało się jasne, że metoda aksjomatyczna nie jest jedynym sposobem rozwijania wiedzy matematycznej.
Pod wpływem paradoksów teorii zbiorów i krytyki ze strony intuicjonistów, głoszących kryzys podstaw matematyki, Hilbert i jego uczniowie podjęli szereg nowych poszukiwań w celu oparcia matematyki klasycznej na bardziej niezawodnych podstawach. Hilbert przy tym mawiał (1928):
„Odebrać matematykowi prawo wyłączonego środka – to tyle, co pozbawić astronoma teleskopu czy zabronić bokserowi posługiwać się pięściami.”
Jednym z najważniejszych elementów koncepcji Hilberta był zamiar stworzenia nowej nauki metamatematyki (bądź teorii dowodu), która stworzyłaby możliwość analizowania sformalizowanych systemów aksjomatycznych, zwłaszcza zaś rozwiązywania łączących się z nimi zagadnień niesprzeczności, niezależności, rozstrzygalności itd. Hilbert wyodrębnił nadto krąg pojęć i metod, które nie zawierają wątpliwych aspektów teorio-mnogościowego sposobu myślenia (tzw. finityzm Hilberta). Finityzm Hilberta eliminuje z matematyki te pojęcia i metody, które odrzucili intuicjoniści w zwykłej matematyce.
Wedle Hilberta uzasadnienie15 jakiejkolwiek teorii matematycznej można osiągnąć tylko w tym przypadku, jeśli, wykorzystując metody logiki matematycznej, z pewnego systemu aksjomatów wyprowadzi się wszystkie możliwe wnioski i ustali się nadto, że żaden z nich nie jest sprzeczny z pozostałymi. Po udowodnieniu (w latach 1920-1930) niesprzeczności konkretnych systemów sformalizowanych, obejmujących część arytmetyki, Hilbert i jego kontynuatorzy (Ackermann, Bernays, Herbrand, von Neumann i in.) utrzymywali, iż osiągnęli cel i wykazali nie tylko niesprzeczność arytmetyki, lecz także niesprzeczność teorii mnogości. W 1931 r. Gödel ujawnił wszelako zasadnicze trudności w zastosowaniu metody Hilberta, a zatem istnienie nowych granic stosowalności metody aksjomatycznej. Gödel udowodnił mianowicie twierdzenie o niezupełności rozwiniętych systemów sformalizowanych – w obrębie każdego takiego systemu można sformułować sąd, którego w tym systemie nie tylko nie da się udowodnić, ale którego zaprzeczenie również nie może być udowodnione. Tak np. jeśli mamy system aksjomatów A1, A2,… An to w ramach tego systemu możemy sformułować sąd B0, którego nie sposób udowodnić za pomocą środków danego systemu aksjomatycznego. Czy istnieje możliwość wyprowadzenia B0, z danego systemu po uprzednim rozszerzeniu go o aksjomat An+1? Owszem, możliwość taka istnieje. Wówczas jednak na pewno znajdzie się przynajmniej jedno zdanie B1, którego nie da się już udowodnić za pomocą rozszerzonego systemu aksjomatów.
Wyniki uzyskane przez Gödla wykazały niemożność zbudowania „powszechnego systemu aksjomatycznego” nie tylko dla całej matematyki, lecz także dla jej poszczególnych dziedzin, np. arytmetyki. Twierdzenie Gödla nie świadczy oczywiście o tym, że metoda aksjomatyczna poniosła fiasko16. Rozwiało ono jedynie nadzieje na sformułowanie takiego systemu aksjomatów, z którego można by było wywieść wszystkie prawdziwe zdania matematyki i logiki. Niemożność zbudowania takiego systemu formalnego, który stałby się ostatecznym uwieńczeniem rozwoju matematyki i logiki, stanowi jeszcze jeden dowód słuszności tezy materializmu dialektycznego o niewyczerpalności prawdy absolutnej, tezy mówiącej o tym, że zbliżanie się poznania do prawdy absolutnej jest możliwe tylko poprzez sumę prawd względnych.
Prace wykonane przez matematyków w ciągu ostatnich dwudziestu-trzydziestu lat wykazują niezbicie, że możliwości metody aksjomatycznej nie zostały jeszcze bynajmniej wyczerpane. Osiągnięto również nowe rezultaty w zakresie podstaw matematyki17. Aby móc przedstawić owe rezultaty, niezbędne jest krótkie omówienie podstawowych problemów (niesprzeczności, zupełności, niezależności, rozstrzygalności), które musi rozwiązywać logika matematyczna w swym aspekcie matematycznym.
Problem niesprzeczności, jak już mówiliśmy, polega na tym, że należy wykazać niemożność wyprowadzenia jako logicznej konsekwencji danego systemu aksjomatycznego jakiegoś twierdzenia P i jednocześnie jego negacji P’. Jeśli system aksjomatyczny jest sprzeczny, tj. da się z niego wyprowadzić i P, i P’, oznacza to, że można zeń wyprowadzić wszystko, co zapragniemy – i prawdę, i fałsz.
Problem zupełności systemu polega na tym, że należy sprawdzić, czy dany system aksjomatów wystarcza do wyprowadzenia zeń jako logicznych konsekwencji wszystkich prawdziwych twierdzeń z danej dziedziny18. Wspominaliśmy już, że system aksjomatów sformułowany przez Hilberta dla geometrii Euklidesa okazał się zupełny, systemy zaś aksjomatów zaproponowane dla rozwiniętej arytmetyki jak wykazał Gödel – okazały się niezupełne.
Problem niezależności systemu aksjomatów polega na udowodnieniu, iż żadnego aksjomatu nie da się wyprowadzić z pozostałych. W celu udowodnienia niezależności jakiegokolwiek aksjomatu wystarczy znaleźć układ obiektów, który będzie spełniał wszystkie aksjomaty z wyjątkiem owego jednego. Często się zdarza, że jest bardzo trudno połączyć niezależność z zupełnością. Tak np. Hilbert w drugim wariancie swej aksjomatyki geometrii Euklidesa osiągnął zupełność, zmuszony był jednak zrezygnować z niezależności.
Problem rozstrzygalności polega na rozwiązaniu zagadnienia istnienia bądź nieistnienia ogólnej metody (algorytmu), która pozwala w skończonej liczbie działań przekonać się, czy ten lub inny wzór da się udowodnić (czy jest logicznie prawdziwy) w danym systemie, czy też nie. Tak np. w przypadku rachunku zdań problem rozstrzygalności został rozwiązany w sensie pozytywnym, natomiast w przypadku rachunku predykatów stwierdzono, że nie istnieje ogólne rozwiązanie tego problemu.
W związku z twierdzeniami Gödla o niemożności udowodnienia niesprzeczności systemu formalnego (wystarczająco bogatego w środki logiczne) za pomocą środków owego systemu, wyłoniło się zagadnienie wzajemnych stosunków między elementami konstruktywnymi i niekonstruktywnymi w matematyce. W ślad za A. N. Kolmogorowem wielu matematyków (K. Gödel, N. A. Szanin i in.) opracowało metody najbardziej efektywnego sprowadzania arytmetyki klasycznej do arytmetyki intuicjonistycznej (konstruktywistycznej). Wiele badań w tej dziedzinie opierało się na pojęciu algorytmu normalnego (A. A. Markowa) i pojęciu funkcji obliczalnej (S. C. Kleene). Podobnie jak niegdyś wyłoniła się konieczność zdefiniowania pojęcia prawdziwości logicznej, którym w sposób intuicyjny posługiwano się w ciągu wieków, tak obecnie niezbędne stało się ścisłe zdefiniowanie takich pojęć, jak „algorytm”, „funkcja obliczalna”, „twierdzenie”, „dowód twierdzenia”, „zadanie”, „rozwiązanie zadania” itp.
W zakresie podstaw matematyki dokonano ogromnej pracy i osiągnięto niemałe sukcesy. Twierdzenia Gödla, które wykazały ograniczoność finityzmu Hilberta, zmusiły matematyków do wyboru nieco innej drogi niż ta, którą kroczył niegdyś Hilbert. Aczkolwiek nie zrezygnowali oni z badań problemów niesprzeczności, zupełności, rozstrzygalności itd. za pomocą metod logiki matematycznej, rozpoczęli jednak poszukiwania innych metod, bardziej efektywnych i w wystarczającym stopniu przekonywających. Zostały przez nich wykorzystane konstruktywne, nie zaś finitystyczne (w znaczeniu Hilbertowskim) metody, np. pozaskończona indukcja matematyczna przebiegająca liczby konstruktywne. Metody te zostały z powodzeniem zastosowane przez G. Gentzena (1936), P. S. Nowikowa (1943), W. Ackermanna (1940) i K. Schüttego (1951) w dowodzie niesprzeczności arytmetyki klasycznej, przy czym okazało się, że wystarczy zastosować środki proponowane przez tzw. logikę minimalną19.
Osiągnięcia te są szczególnie interesujące z filozoficzno-metodologicznego punktu widzenia, logika minimalna bowiem nie posługuje się ani prawem wyłączonego środka, którego prawomocności przeczy logika konstruktywna, ani też zasadą, wedle której „ze sprzeczności wynika wszystko”. Zastosowanie zaś tej zasady dopuszcza, jak wiadomo, logika konstruktywna. Logika minimalna – to rezultat dalszej, zapoczątkowanej przez intuicjonizm rewizji zasad logiki klasycznej pod kątem widzenia ich powszechnej stosowalności. Dlatego właśnie minimalny rachunek predykatów wykorzystywany jest jako logiczna podstawa metateorii w pracach z zakresu ultraintuicjonistycznych podstaw matematyki.
Ważnym rezultatem okazało się twierdzenie Gödla (lata 1932-1933), mówiące o niesprzeczności arytmetyki klasycznej pod warunkiem niesprzeczności arytmetyki intuicjonistycznej. W 1959 roku P. S. Nowikow, wykorzystując konstrukcje matematyczne, wykazał niesprzeczność arytmetyki ograniczonej (bez aksjomatu matematycznej indukcji zupełnej). W 1960 roku A. S. Jesienin-Wolpin wykorzystał ultraintuicjonistyczną (nazywaną także „szczerą”) koncepcję (nie dającą się sformalizować w logice klasycznej, czyniącą jednak zadość systemowi nader ścisłych kryteriów przekonywania) do wykazania niesprzeczności aksjomatycznej teorii mnogości20. Nie jest bez znaczenia fakt, że wedle rezultatów uzyskanych przez Gödla problem ten w ramach finityzmu Hilberta nie da się rozwiązać.
Wyliczyliśmy zaledwie niektóre, najważniejsze osiągnięcia w zakresie podstaw matematyki, by wykazać, jakie trudności musieli tu pokonywać uczeni i jak dalece nieoczekiwane okazują się niekiedy wyniki badań.
Niech nam Czytelnik wybaczy, że często zmuszeni byliśmy jedynie wymienić ten czy inny problem, nie próbując zilustrować go rozważaniami matematycznymi. Nie wydawało się to możliwe w niewielkiej objętościowo publikacji, tym bardziej że wiele wspominanych przez nas problemów należy do wyjątkowo skomplikowanych i wymaga od Czytelnika specjalnych wiadomości z zakresu matematyki.
* * *
Szybki rozwój matematyki w naszych czasach, jej wzrastająca rola w postępie współczesnej nauki i techniki rodzą nieustannie nowe problemy metodologiczne. Nader rozległy ich krąg łączy się zwłaszcza z koncepcjami i metodami cybernetyki oraz z pozostającymi z nią w ścisłych powiązaniach koncepcjami i metodami nauk matematycznych (teoria algorytmów, logika matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa, teoria programowania, teoria gier itp.). Jednakże już analiza poruszonych przez nas zagadnień świadczy o tym, że nie sposób ich właściwie rozwiązać ani na gruncie idealizmu, ani na gruncie materializmu metafizycznego. Jedynie materializm dialektyczny może być niezawodnym doradcą uczonego, tylko on oświetla mu wszystkie kondygnacje wspaniałego gmachu współczesnej matematyki.
KONIEC
1 A. N. Kolmogorow, Matiematika, w: Bolszaja sowietskaja encyklopiedija (wyd. II), t. 26, s. 477.
2 Rzecz interesująca, że hipotetyczny charakter tworów aksjomatycznych odzwierciedlił się nawet w tytułach niektórych prac – np. znakomity wykład habilitacyjny Riemanna był zatytułowany O hipotezach, które służą za podstawę geometrii (1854), praca zaś M. Pieri Geometria elementarna jako system hipotetyczno-dedukcyjny (1899).
3 Interpretację bądź modelowanie jednej teorii za pomocą drugiej osiąga się poprzez ustalenie izomorfizmu między tymi teoriami, tj. za pomocą wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania podstawowych pojęć i aksjomatów tych teorii.
4 W obecnym ujęciu teorii mnogości za wyjściowe uważa się pojęcie zbioru i relację należenia do zbioru. Przyp. red. wyd. polskiego.
5 P. S. Nowikow, Elemienty matiematiczeskoj logiki, Moskwa 1959 s. 17.
6 Autor wyraził się niezupełnie ściśle. Sformułowane tu prawo nazywa się w logice prawem niesprzeczności; prawo wyłączonego środka mówi natomiast, że z dwóch zdań sprzecznych A i nie-A-przynajmniej jedno jest prawdziwe. – Przyp. red. wyd. polskiego.
7 Wykrycie paradoksów przede wszystkim postawiło pod znakiem zapytania tzw. „naiwną teorię mnogości”, która nie była ściśle zaksjomatyzowana. Wielu matematyków rozpoczęło wtedy pracę nad stworzeniem takiego systemu aksjomatów teorii mnogości, który by nie dopuszczał tych paradoksów. System taki został podany np. przez E. Zermelo. Jednakże problem znalezienia systemu aksjomatów całkowicie zadowalającego pod względem metodologicznym jest ciągle jeszcze otwarty, przy czym ostatnio w związku z nowymi odkryciami (głównie odkryciem niezależności słynnej „hipotezy continuum” i aksjomatu wyboru dokonanym przez P. J. Cohena) problem ten nabrał szczególnej aktualności. Przyp. red. wyd.
8 Szczegółowo pisze o tym S. C. Kleene, Introduction to Mathematics, Amsterdam-Groningen 1952, s. 36-46.
9 Przypomnimy, że zbiorem nazywa się dowolny zespół obiektów.
10 Podzbiorem nazywa się część zbioru.
11 Łatwo pojąć, że „zbiór wszystkich zbiorów” zawiera w sobie nieskończenie liczny zespół elementów (zbiorów), tj. stano wi aktualną nieskończoność.
12 Moc zbioru jest to pojęcie matematyczne, określające w ogólny sposób liczbę elementów tego zbioru. Za pomocą tego pojęcia można rozróżnić, które zbiory o nieskończonej liczbie
elementów są „bardziej liczne”, a które „mniej liczne”. – Przyp red. wyd. polskiego.
13 Należy podkreślić, że radzieccy matematycy zwolennicy kierunku konstruktywistycznego zajmują stanowisko filozoficzne całkowicie przeciwstawne idealistycznym poglądom intuicjonistów.
14 A. A. Markow, Tieorija algorifmow, Moskwa 1954, s. 15.
15 Czyli wykazanie niesprzeczności. Przyp, red, wyd. polskiego.
16 „Twierdzenie Gödla … nie zamyka w pełni drogi dalszym próbom dowodzenia niesprzeczności, pod warunkiem jednak wyrzeczenia się (bodaj częściowego) ograniczeń Hilberta dotyczących metod finitystycznych” (N. Bourbaki, Eléments d’histoire des mathematiques, Paris 1960, s. 63).
17 Zob. S. J. Janowskaja, Matiematiczeskaja łogika i osnowanija matiematiki, w: Matiematika SSSR za sorok let, t. I, Moskwa 1959; S. J. Janowskaja, O niekotorych czertach razwitija matiematiczeskoj łogiki i otnoszenija jejo k tiechniczeskim priłożenijam, w: Primienienije logiki w naukie i tiechnikie, Moskwa 1960; P. S. Nowikow, Elemienty matiematiczeskoj logiki, Moskwa 1959.
18 Najczęściej przyjmujemy bez odwoływania się do pojęcia prawdziwości twierdzeń, że dany system aksjomatyczny jest zupełny, jeśli przy rozpatrywaniu w tym systemie dowolnego sądu albo on sam, albo jego zaprzeczenie da się wyprowadzić z tego systemu. Przyp. red. wyd, polskiego.
19 Zob. J. Gastiew, Minimalnaja logika, w: Filosofskaja encyklopiedija, t. 3, Moskwa 1964, s. 446.
20 Zob. A. S. Jesienin-Wolpin, K obosnowaniju tieorii mnożestw, w: Primienienije logiki w naukie i tiechnikie, Moskwa 1960. s. 22-118.